В В Каширин - Изоморфные вложения нестабильных центров риссовских шкал - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 513. 88

В. В. КАШИРИН

ИЗОМОРФНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ НЕСТАБИЛЬНЫХ ЦЕНТРОВ РИССОВСКИХ ШКАЛ

Пусть {ctpn) матрица положительных чисел, неубывающих по •индексу р. Через L1 (арп) обозначим класс всех подпоследователь­ностей I = (In), для которых при любом р і] § \\р = 2 1£л1 арп<°°-

Множество D-(apr) рассмотрим как пространство Кёте с тополо­гией, задаваемой системой норм (|[ ||р), р — 1, 2, ... .

В частном случае, когда арп = ехр (Хр ап), где ап f --, Хр f f X и oo<X^oo получаем центр абсолютной шкалы Рисса, конечный (R\ (an)) при X < оо и бесконечный (R* (а„)) при А, = оо. На самом деле достаточно рассматривать лишь один конечный центр R0 [ап), так как при X < оо все Rx (ап) будут ему изоморфны.

В работе [1] и др. для медленно растущих последовательнос-

50тей (<2„) был получен ряд необходимых и достаточных условий, при которых риссовский центр R0(an) содержит подпространства, изоморфные Ra (b„), и риссовский центр R„(a„) содержит фактор-пространства, изоморфные R0(b„). При этом оставался неисследо­ванным случай, когда sup (a„+ija„) ~ о.

Мы рассматриваем нестабильные риссовские центры Ri(an),. X = О, оо, т. е. центры, определяемые последовательностью (ап), обладающей свойством ап+1/ап оо. В данной статье для произ­вольной последовательности (Ьп) найдем необходимые и достаточ­ные условия, при которых риссовский центр R0(bn) содержит подпространства, изоморфные нестабильному центру R^ (ап)г и риссовский центр R„ (bn) содержит фактор-пространства, изо­морфные нестабильному центру R0(an).

Теорема І. Для того чтобы бесконечный риссовский центр R^ (ап) изоморфно вкладывался в конечный риссовский центр R0{b„) необходимо, а в случае, когда R„(an) нестабилен, и до­статочно, чтобы для любого натурального г нашлась последо­вательность индексов (kr(n)), для которой выполняется нера­венство г ^ bkr(n)lan ^ М (г) < оо. (I);

Необходимость. Если условие (1) не выполняется, то сущест­вуют постоянная С, подпоследовательности натурального ряда (т„) и (nj) такие, что Ьт(п)/ап < С, Ьт(П)+11ап^С, но Итф^^/а^,-)) =

= оо. Последнее означает, что для любой последовательности (kj), где &;->оо, либо lim (b(kf)/0(ni))если kj^mno) для бес­конечного числа индексов /, либо Нт(&ад)/аП(д) = оо, если &/>

> m;!(/) для достаточно больших /.

Из [2] следует, что все линейные непрерывные операторы Г: : R* {cin(i) -*Ra Фп) будут компактными. Отсюда (см. напр. [3]) сле­дует, что в R0(bn) нет подпространств, изоморфных R<* (аП(/)) и" тем более R^ (ап).

Достаточность. Изменив для удобства конечное число чле­нов последовательности (Ьп),  можно считать, что ап < bm(n)+l <

< Ьт(п)+2 < • • • < bm(n+l) ^ a„-j_i.   ВыдеЛИМ    Теперь   СЧЄТНОЄ число'

последовательностей (kr (п))„=l1, 2,...)  таких,   что а(г)-^. <bkrln)/an<M(a(r))   (2),   где  a(l) = l,   а (г + 1) = (г)) Пусть (еп) последовательность координатных орт. Рассмот­рим подпространство X в R0(bn),  образованное блок-базисно».

т(п)

последовательностью хп = ^ (ехР]/~ая &*г(л>) е*.(я)> где по­следовательность (т (п)) подбирается так, чтобы т(п) ^.п и не­равенство bkr(n) <an+i выполнялось бы при всех г<.т(п), п — — 1, 2, ... . Из нестабильности пространства R«,(an) вытекает, что можно подобрать последовательность (т(п)), обладающую-вышеуказаиными свойствами и такую, что тп \ оо.

9t

Докажем изоморфизм пространств X и R*, (а„). Для этого до оаточно   показать, что у р 37 : j хп \р <^ \\ е„ \}[Я (3); у</     : X

п

X (j Aje/;! еп \]9) = оо (4), где () ■ ' р) индуцированная системе норм в X.

По    определению \хп\р = • (ехр j/a„ b*r(,t)) х

X ехр (Цр bkr(n)) \\еп \\q exp (Kg an), где Xq f oo, |Xp f 0. Установим неравенство (3):

m(n)

>tXn']p = X ^yexp (Vа" • 4-w + ^ • Чсо) =

m(n)

=     ^ exp ((уькг{п)іап + [ір (6*r(n)/an)) a„) .

-Функция j/^ + Hp # ограничена сверху числом 1/4 • Ид- Взяв \> — 1/4нР, получим [*„]р < ехр    a„) =||e„j[?.

Доказательство завершится установлением соотношения (4);

ш(п)

! хп;e/j! en I! я = ^]       ехр (]/а* 6*Г<Л) + Не &*г(п) ^ ал) >

>^ ехр ((|/ЬМд)/а,г + ре (^л(п)/а,г|     а„) _

Зафиксируем q и, воспользовавшись условием (2), выберем фиксированный индекс г, а затем 6 так, что неравенства

УЬкг(п)/ап >2kq;  у Ькг(П)/ап + ре (bkr(n)/an j kq > s > 0

будут выполняться для всех п > г. В этом случае нетрудно ви­деть, что lim(| х„іе/[|Єп|(?)> lim—i--ехр (е an) = оо,   так как

П-+ оо со

т(п)^.п по построению.

Следствие 1. Произвольный нестабильный риссовский центр R0(bn) не содержит подпространств, изоморфных какому-либо бесконечному риссовскому центру R^(an).

Доказательство проведем от противного. Предположим, что пространство R0 (bn) содержит подпространство, изоморфное Rcc(an). Без потери общности можно считать, что R„(an) не­стабильный риссовский центр. В этом случае по теореме 1 из соотношения (1) найдутся непересекающиеся последовательности (kr («))д.«і и (kr+i (я))/Г=і, для которых + 1)/М (г) < bkr+lW/bkr{n) <

^.М (г + \)/г, что противоречит предположению о нестабильнос­ти центра R0 (bn).

Следствие 2 (ср. [4]). Произвольный бесконечный неста­бильный центр абсолютной шкалы Рисса R«, (ап) изоморфно вкладывается в конечный риссовский центр, если последний изоморфен своему подпространству единичной коразмерности.

Доказательство. Известно (см. [5]), что риссовский центр Кп {Ьп), изоморфный своему подпространству единичной коразмер­ности, определяется последовательностью (Ьп), обладающей свой­. ством sup (bn+[,'bn) = М < оо, где М некоторая постоянная. Для

фиксированного г и произвольного п подберем последователь­ность (kr (п))1 так, что (bkrW-\/an< г, но (/l)/a„ > г. При этом справедливо неравенство г < bkr {п)/ап = (bhr w~ilan) (bkr(n)/bkr{n)-i) < г.

Теорема 2. Для того чтобы пространство R„ (bn) имело фактор-пространство X, изоморфное конечному центру R0(an), необходимо, а в случае, когда риссовский центр R0(an) неста­билен, и достаточно, чтобы для любого натурального г наш­лась последовательность индексов (kr (п))п=\ , для которых при достаточно больших п выполняется неравенство г ^an/bkr^n) ^ < М (г) < оо (5).

Необходимость. Если условие (5) не выполняется, то суще­ствуют постоянная С, подпоследовательности натурального ряда (тп) и (/г,-) такие, что при достаточно больших п ап/Ьт(П) 5== С,

ajbmw+i < С, до lim (anu)/bm(nU))) = 00 • /

Положим с j a„(j). Нетрудно видеть, что для любой последо­вательности индексов (k/), где £,-->оо, либо lim (сед/fr,)    С, ли­бо lim (Ck(i)/bj) = оо. Из [7] следует, что все линейные непрерыв-/

ные операторы Т : Rm (bn) -> R0(c„) будут компактными. Послед­нее означает, что в R^ (bn) нет фактор-пространств, изоморфных R0(cn). А так как пространство R0(cn) изоморфно некоторому замкнутому дополнимому подпространству в R0(an), то в R^ (br) тем более нет фактор-пространств, изоморфных Ra(ar).

Достаточность. Изменим для удобства конечное число чле­нов последовательностей (ап), (Ьп) и в дальнейшем будем считать, что а„ < bmW+l < bm(n)+2 < • • ■ < bm(n+l) <a,M-i. Выделим счетное число последовательностей (kr (п))п^\ (г = 1, 2, ...) таких, что а (г) < an/bkr (n) < М (а (г)) (6), где а (1) = 1, а (г + 1) = 2М (а(г)).

Пусть (еп)последовательность координатных орт. Положим

<J = | х = 2 £<■ еі Є R<* Фп) : У (ехр уап- bkf(n)\tkr {п) = 0 уп ,где последовательность (т(п)) подбирается так, чтобы т(п)^п и неравенство bkf. > ап~\ выполнялось бы при всех г^.т(п), п=\, 2..... Фактор-пространство Ra(bn)jG изоморфно прост-

ранству   Кёте    L1 (Срп),    где   сРп =     min    ехр(р-6*

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

В В Каширин - Изоморфные вложения нестабильных центров риссовских шкал