М Ю Царьков - Изоморфизмы некоторых аналитических пространств перестановочные со степенью оператора дифференцирования - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Выпуск 11 1970

ИЗОМОРФИЗМЫ НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ, ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СО СТЕПЕНЬЮ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

М. Ю. Царьков

Пусть G односвязная ограниченная область комплексной плоскости. Рассмотрим пространство Ш (G) всех однозначных аналитических в G функ­ций с топологией компактной сходимости [1]. Через D обозначим оператор дифференцирования

Df(z) = ±f(z), /=(г)єЗД, (1)

который линейно и непрерывно отображает 3f (G) в себя. Пространство %{G)' линейных непрерывных функционалов над 3t(G) изоморфно пространству Ш- (CG) функций, локально аналитических на замкнутом множестве CG и рав­ных НуЛЮ В 2 = со  [ 1 ].

Если f 31(G)' и /(г) 6 9t(G), то

/?(/)=i§/W<P(4^. (2)

где <p(z)e%(CG) и С положительно ориентированный, лежащий в общей области аналитичности функций f{z) и <р (г), контур. Последовательность ?п (z) Є ^ сходится к нулю тогда и только тогда, когда существует замкнутая область U, U zd CG, в которой аналитичны все функции <рл {г), и <p„(z) сходится к нулю равномерно на U [1]. Оператор, сопряженный к D, есть оператор [1]

D*cp(2) = _|?(z). (3)

Описание изоморфизмов 31(G), перестановочных со степенью оператора дифференцирования, было получено в [3] для случая %(KR) = $l 0<^<со, где Krлибо круг радиуса R, R < со, либо комплексная плоскость при

R = со.

В настоящей работе другим методом аналогичное описание дается для более общих областей.

Теорема 1. Пусть G односвязная ограниченная область, содержа­щая нуль и переходящая в самое себя при повороте на угол (п > 1).

Тогда, чтобы линейный оператор Т был непрерывным оператором в % (G), перестановочным с D'1, необходимо и достаточно, чтобы он имел вид*

т= s' (SWp.^'^K. (4)

р, ?=о s=0

Сходимость ряда     fsn+p q DsnJrq р понимается в сильной операторной топологии,

s=0

т. е. на каждом элементе из 31 (G).п—\

Aqf(z)=±Yia~*/f(a/z''   0< 4<п~1, (5) /=о

2- і ) ■ = ехр —, причем коэффициенты tkq (k is- 0, 0 < q < — 1) удовлетво-

: -::т условию

limy/] *M|fe! =0,0<<7<л 1. (6)

Замечание 1. В (4) при s = 0 и q<p, Di~p заменяется на где / — оператор интегрирования

2

If{z)=\f{l)dL (7) о

Замечание 2. Описание верно также для областей, инвариантных отно-

2г. , сительно вращения на угол вокруг некоторой своей точки г0.  В этом

случае вместо (5) нужно положить

л—I

Л / (2) = ~ Y со-« f (со/ (г - г0) + г0).

Укажем на некоторые свойства операторов aq. В силу предположен­ных свойств области операторы ая определены на всем пространстве 3f (G) и непрерывны. Непосредственно проверяются следующие свойства опера­торов ац:

Г. Если разложение функции / (г) б Зі (G) в ряд Тэйлора имеет вид

ео

f(z)= S akzk> т0 5ЛЯ Aq f (г) оно имеет вид

Aqf(z)^f, ат+яг™+«. (8)

«—1

Действительно, так как -j^-^j а'(р-ч) Ьчр, то

Л—I ее    я—1

4 / (г)=^ У)со_9/ S S йда+р2sn+p ffl/p=

/=0 s=0 р=0

со    //—і Я—I ео

s=0 р=0 /=0 s=0

2°. Операторы /4? перестановочны с D" в 91(G). Из свойства 1? легко следует, что

3s. aq = Л?, 0<        1;

4°. ДД, = 0, ^gfcp;

л—1

5°. Уі aq = е единичный оператор). Переходим к доказательству теоремы 1.

Достаточность условий этой теоремы очевидна, так как (в силу свойства 2°) AqDn = D'lAq, а условие (6) и оценки Коши для производных ана­литической функции обеспечивают сходимость в 31 (G) ряда ^ +р, qDsn+i-p

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

М Ю Царьков - Изоморфизмы аналитических пространств перестановочные со степенью оператора обобщенного интегрирования

М Ю Царьков - Изоморфизмы некоторых аналитических пространств перестановочные со степенью оператора дифференцирования