М Е Лесина, Я В Зиновьева - Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов лагранжа - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

УДК 531.38

М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУОБРАТНОГО МЕТОДА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПО ИНЕРЦИИ

ДВУХ ГИРОСКОПОВ ЛАГРАНЖА

 

 

Уравнения движения двух гироскопов Лагранжа, сочленённых идеальным сферическим шарниром, содержат потенциальную энергию упругого элемента, которая является произвольной дифференцируемой функцией угла между осями динамической симметрии тел. Используя полуобратный метод, этот произвол для потенциальной энергии перенесен на переменную С Специальный выбор переменной позволил построить два новых решения задачи.

 

 

В монографии [1] выполнена замена переменных

со2 = (Asinr - jucosr)/sin2r, 1 Q2 = (A sin г + jucosr)/sin2r, 2

 

на основании которой получена четвертая форма уравнений движения[1] (5.60)*

 

A - ju%ctg[2]T = А(т,£), 3 Ц + A^tg[3]r = М(т,£), 4

 

где

А(т,ї) = {(A + N К - (A + N )n - [(A + N К + (A + N )n\$ C°HL,

М(т,£) = {(A - N )n0 + (A - N )n - [(A - N )n0 - (A - N )n]tfHl-

H

(штрихом обозначено дифференцирование по г, г = 0/2).

Придавая £ значения нуль, один и                    1         , на основе этих уравнений

sin г cos г

получено три точных решения. Оказывается, эту форму уравнений можно использовать и для построения других точных решений. Для этого преобразуем систему (3), (4) к одному неоднородному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами.

Г + [2^г + ctgO-?/ф' + ГА = / (г,£,£'), 5

где

Дг,^')=М(г,£)^2г + л(гД2^г + ctgO-?/£\+Л'(г,£). 6

 

Запишем соответствующее однородное уравнение

 

А" + [2(tg^ + ctgг)-1'/ф' + Е,2А = 0. 7

 

Если,    задавая    определенным    образом                               сможем найти

соответствующее ему какое-либо частное решение Х1(т), то второе линейно независимое частное решение найдем по формуле Лиувилля

 

X (г)= AS?) j Хг, 8

 

 

где W(t) - определитель Вронского

 

Ж(г)= е Jl                   А}  . 9

Выполняя интегрирование в (9), находим

 

Ж (г) = |(г) ctg2г. 10

Зная   фундаментальное   решение (т), неоднородного уравнения (5) определим в виде


Х2(т),   общее решение

X (г) = СЛ(г)+СД(г)-\(r)i                            dr + X(г)\dr, 11

 

где /*(т) - функция, соответствующая выбранному значению £(т), после подстановки его в (6).

4 sin r cos r 1
Покажем, что выбирая
% =---------------------- —, % = ——, можно построить

sin г + cos г        sin г

два новых решения.

Первое решение. Зададим инвариантное соотношение в виде

 

4 sin cos

е =            4              4—. 12

sin г + cos г

 

При этом уравнение (7) допускает частное решение

 

Ді(г) = T^V- 13 1 + tg г

 

Определитель Вронского находим из (10) с учетом (12)

 

W(г)=- 4) . 14

 

 

Подставив найденные значения (13), (14) в (8), получим второе частное решение

 

X, (г) = - ^ (in (tg4r)+ tg4r). 1 + tg г

 

Общее решение уравнения (7) имеет вид

 

Д,)=    С    - С,(in(tg4r)+ tg4r).
1 + tg4r                 1 + tgV

В дальнейшем будем считать циклические постоянные нулевыми, а также постоянную интегрирования С2 обратим в нуль.

 

n = n0 = 0,    С2 = 0, 15

 

то есть, будем изучать частое решение, соответствующее

 

 

/  ч        С* cos г

Д(г)=                        4~ > 16

sin г + cos г

 

(учет ненулевых значений циклических постоянных приводит к громоздким выражения для всех переменных задачи).

Переменную fi определим из (3) с учетом условия (15) и (12), (16) в

виде

 

 

/ ч       С sin г

и(г) = nr                —. 17

sin г + cos г

 

Подставив (16), (17) в соотношение (1), (2), получим

 

( )   С,(cos3 г - sin3 г)

®2 (г)= ------------------ ГТ > 18

2|sin г + cos г

 

П2(г)= C'h'                               . 19

2|sm г + cos г)

 

Теперь из конечных соотношений (5.61)*

со3 (г) = 2(Xsin3 г + ju cos3 г)/sin2 2г, 20 Q3 (г) = 2(- X sin3 г + ju cos3 г)/ sin2 2г 21

 

находим

 

/ ч   С* (cos г + sin г) cos г sin г

®3 (г)=                                                   , 22

2^sin г + cos г)

~ / \   СА- cosr + sin г)cos г sin г

Q3 (г)=     ^    2( ■   4------------------ ■ 23

2^sin г + cos г) Запишем формулы (5.57)*.

сох =(Е + 1)к, Q1 =(Е - 1)к, 24 и подставив в них (12), определим

/ ч     (sln22r + 4sin2r - 2) / ч    ^ / ч   - 2 - 4sin2r + sin22/ ч

с1 (г)=-Л—~—г^т------------------- 1 к(г),   Q1 (г)=----------- ~—---------------- 4г). 25

2 - sin 2                                                           2 - sin 2

 

Для нахождения к(т)воспользуемся интегралом (5.18)*

 

 

G2 + G22 + G32 = g2, 26

 

G1 (г)=(Л - N ^2г)£с (г)+(Л0 - N ^2г^ (г), 27 G2(г) = - Ncos2r)ю2)+(Л0 cos2r - N)Q2(г)-n0 sln2r, G3(г)= (Л0Q2(г)-Nc2(г)^т2г + n + n0 cos2r .

 

 

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

М Е Лесина, Я В Зиновьева - Применение полуобратного метода для построения решений задачи о движении по инерции двух гироскопов лагранжа

М Е Лесина, Я В Зиновьева - Условие существования прецессии общего вида гиростата в магнитном поле