Д В Кюрчев - Про аномальну фрактальність одного класу множин ланцюгових дробів із зростаючими елементами - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5 

Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки

Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова. - 2006, № 7.— С. 204-210._____________________

 

УДК 511.72+519.21

Про аномальну фрактальність одного класу множин ланцюгових дробів із зростаючими елементами

 

Д. В. Кюрчев

(Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова)

 

 

Анотація. Розглядається множина елементарних ланцюгових дробів, елементи яких утворюють строго зростаючу послідовність. Побудовано сингулярну ймовір­нісну міру, зосереджену на такій множині. Також вивчено один клас підмножин цієї множини, розмірність Хаусдорфа-Безиковича яких дорівнює нулю.

 

Abstract. We take into consideration the set of elementary continued fractions whose partial quotients form a strictly increasing sequence. We construct a singular probability measure supported on this set. We also study one class of the subsets of this set, whose Hausdorff-Besicovitch dimension equals zero.

Відомо [1], що кожне ірраціональне число x єдиним чином представляється у вигляді нескінченного ланцюгового дробу

1

x = ao +------- 1--- = [ao; a1}a2,...], (1)

ai +---------

 

а кожне раціональне у вигляді скінченного ланцюгового дробу

1

x = ao +------------ 1------ = [ao; ai,a2,...,an], (2)

ai +----------------

. . 1

an

де a0 ціле, ak (k = 1, 2,...) — натуральні числа, які називаються його елементами. Будемо розглядати далі лише випадок, коли x Є (0,1], тобто a0 = 0, і вживати позначення x =[ai,a2,... ] або x =[ai,a2,...,an] відповідно.

В метричній теорії ланцюгових дробів виникаєчимало множин, числа яких воло­діють певними властивостями свого елементарного ланцюгового представлення. Як правило, такі множини однаково малі з точки зору міри Лебега (вона дорівнюєнулю),

©  Д. В. Кюрчев, 2006проте відрізняються своїми фрактальними властивостями! 10]. Проблемам обчислен­ня розмірності Хаусдорфа-Безиковича таких множин присвячено цілий ряд наукових досліджень: [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. Створено прийоми, що дозволяють знаходити розмірність з певною точністю та знайдено її оцінки, проте точні формули для обчи­слення розмірності множин, визначених в термінах ланцюгових дробів, у більшості випадків не відомі.

Багато досліджень присвячено проблемам знаходження розмірності Хаусдорфа-Безиковича множини EM = {x : x = [a1,a2,...,ai,...],ai < m //i = 1, 2,...}, зокрема, це роботи Ярніка[2], Гуда[3], Кінні і Пітчера[4], Хенслі[8] та інші.

Починаючи з роботи [3], вивчалися фрактальні властивості множин ланцюго­вих дробів із зростаючими елементами. Серед цих множин були і такі, розмірність Хаусдорфа-Безиковича яких дорівнюєнулю. Так, в роботі [3] стверджується, що множина

{x : x = [a1,a2,...,an,...], lim (lnan)n -^oo}

маєнульову розмірність Хаусдорфа-Безиковича, проте запропоноване в [3] доведення виявилося некоректним і було обґрунтовано набагато пізніше в роботі [9], що свідчить про складність і нетривіальність таких задач.

В роботах [5[7] отримано оцінки розмірності Хаусдорфа-Безиковича множин чисел, елементи ланцюгового представлення яких зростають не повільніше деякої на­перед заданої функції f (n): an(x) > f (n). Чим швидше зростають елементи an(x),тим меншою єрозмірність відповідної множини. Зокрема, в роботі [7] доведено, що роз­мірність Хаусдорфа-Безиковича множини {x : x = [a1,a2,...,an,...],an > 22 Vn = 1, 2,...} дорівнюєнулю.

O

В даній роботі ми розглядаємо клас множин Em та множину E =  (J Em .Еле-

M=1

менти ланцюгового представлення чисел цих множин an(x) зростають відносно по­вільно, проте через певні обмеження множини Em і E виявляються також "бідни-ми"у фрактальному сенсі їх розмірність Хаусдорфа-Безиковича виявляється рів­ною нулю. Ми також будуємо сингулярну функцію розподілу, що відображає кожну множину Em у множину EM.

Нехай M додатне ціле число, M> 1. Означимо множини

Em = {x : x =[aba2 ,...,ak,...]; 0 <ak - ak-i < M //k =1, 2, 3,...},

O

E =      Em .

M =1

Очевидно, що Em і E континуальні. Розглянемо детальніше їх тополого-метричні та фрактальні властивості.

Нагадаємо [10], що циліндричним відрізком (циліндром) рангу n з основою a1a2 ...an називається множина Aaia2 ^Mn чисел x Є (0,1], перші n елементів лан­цюгового представлення яких дорівнюють a1,a2,...,an відповідно, тобто

I [[a>i,a,2,

1], [ai,a2,...,CLn ]] , якщо n

Aaia2...an

у [[a1,a2,...,ari], [ai ,a2,...,an + 1]] , якщо n
A
____

Довжина циліндра Aaia2^Mn знаходиться за формулою[1]:


непарне, парне.

(3)

1

I Aaia2...an |

Qn(Qn + Qn-i)''

де Qn i Qn-i знаменники підхідних дро6ів довільного числа даного циліндра, що визначаються рекурентно: q-1 = 0, Qo = 1, Qk = akQk-1 + Qk-2 (k =1, 2,...).

Страницы:
1  2  3  4  5 


Похожие статьи

Д В Кюрчев - Про аномальну фрактальність одного класу множин ланцюгових дробів із зростаючими елементами