М В Працьовитий, Г М Торбін - Про класифікацію одновимірних сингулярно неперервних ймовірнісних мір за їх спектральними властивостями - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6 

Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки

Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова. - 2006, № 7.— С. 95-104._____________________

 

УДК 519.21

Про класифікацію одновимірних сингулярно неперервних ймовірнісних мір за їх спектральними властивостями

М. В. Працьовитий, Г. М. Торбін (Національний педагогічний університет імєні М. П. Драгоманова)

 

 

Анотація. У роботі запропоновано нову тонку класифікацію сингулярно неперерв­них ймовірнісних мір на R1 на основі аналізу спектральних властивостей таких мір (топологічних та метричних властивостей спектра міри, а також локальної поведін­ки міри на підмножинах спектра). Доведено теорему про структурне представлення довільної сингулярно неперервної ймовірнісної міри як опуклої комбінації трьох син­гулярно неперервних мір, що мають чистий спектральний тип.

 

Abstract. We introduce a new fine classification of singularly continuous probability measures on R1 on the basis of the analysis of spectral properties of such measures (topological and metric properties of the spectrum of a measure as well as local behavior of a measure on subsets of the spectrum). The theorem on the structural representation of any one-dimensional singularly continuous probability measure in a form of a convex combination of three singularly continuous probability measures of pure spectral type are proven.

 

1. Вступ

Яквідомо, довільна одновимiрна ймовiрнiсна мiра ц може бути єдиним чином представлена у вигляді опуклої комбінації

ff = аі fid + 012Цас + азЦзе;

де аі > 0; аі + а2 + а3 = l,id - дискретна ймовірнісна міра, fiac - ймовірнісна міра, яка є абсолютно неперервною відносно одновимірної міри Лебега А,а fisc - ймовірнісна міра, яка є сингулярно неперервною відносно одновимірної міри Лебега (тобто fisc є неперервною ймовірнісною мірою, для якої існує борелівська множина Е така, що isc(E) = l і А(Е) = 0).

©   М. В. Працьовитий, Г. М. Торбін, 2006

Робота частково підтримана проектами DFG 436 113/78, DFG 436 113/80 та фондом Олександра фон Гумбольдта

Дослідження властивостей сингулярно неперервних ймовірнісних мір є однією з проблем теорії ймовірностей, актуальність якої вмотивована з одного боку вну­трішньою логікою розвитку математики, а з іншого - застосуваннями в теорії чи­сел, теорії динамічних систем, спектральній теорії самоспряжених операторів (див. [1, 2, 3, 2, 8] ). Зазвичай сингулярно неперервні міри асоціюються з мірами кан-торівського типу, тобто неперервними мірами у яких спектр (мінімальна замкнена множина, на якій зосереджена міра) є ніде не щільною множиною нульової міри Ле­бега. Але, яквідомо (див. [3, 5, 7, 8]), існують сингулярно неперервні ймовірнісні міри, для яких спектр може бути ніде не щільною множиною додатної міри Лебега або може повністю містити цілі відрізки. Очевидно, що нормована сума скінченної кількості сингулярних розподілів канторівського типу є розподілом канторівського типу. Зчисленна ж нормована сума розподілів канторівського може мати спектр, метричні і топологічні властивості якого можуть суттєво відрізнятись від множи­ни, яка є об'єднанням спектрів доданків і має нульову міру Лебега. Тому видається природним той факт, що для адекватної спектральної характеризації сингулярно не­перервних ймовірнісних мір необхідно досліджувати не лише топологічні та метричні властивості спектра міри як фіксованої підмножини, а й поведінку міри на певних підмножинах спектра. Результати таких досліджень приводять до спектральної кла­сифікації сингулярних мір, яка пропонується в наступному розділі.

2. Класифікація одновимірних сингулярно неперервних ймовірнісних мір за їх спектральними властивостями

Нехай - одновимірна ймовірнісна міра. Позначимо через її спектр - мінімаль­ну замкнену множину повної / -міри.

Означення 1. Сингулярно неперервна ймовірнісна міра на R1 називається мірою чистого GC-типу (узагальненого канторівського типу), якщо існує ніде не щільна множина Е така, що

 

і і(Е) = 1,

[ \/x є Е зє(х) > 0:   [x e{x),x + є{х)} п     множина нульової міри Лебега.

Приклад 1.

а) Нехай

ОО £

 

k=1 3

де Є - незалежні однаково розподілені випадкові величини, що набувають значень 0 та 2 з імовірностями p і q, p + q =1 є (0,1). При довільному виборі p є (0,1) ймовірнісна міра є сингулярно неперервною мірою GC-типу. Гї спектр співпадає з класичною множиною Кантора Co і в якості множини Е, яка фігурує в означенні,можна вибрати власне спектр С0.При p = 2 отримуємо "класичну- міру Кантора на одиничному відрізку.

б) Нехай I =[0,1], {(аі,Ьі)} - послідовність інтервалів без спільних межових

О

точок, така що (аі,Ьі) С I,    ^2(Ьі ai) = a0 < 1,і P = I\{J(аі,Ьі) - ніде не щільна

множина додатної міри Лебега. Позначимо di := Ьі ai і побудуємо міру v наступним чином:

О

v = 2-^2,

i=1

де міра vi співпадає з "класичною"ймовірнісною мірою Кантора на [ai + 0 di,ai + 3di] (SVi подібна множині Кантора з коефіцієнтом подібності 0 di, inf SVi = ai + 4di, sup SVi = ai + 4di). Міра v є ймовірнісною (за побудовою), а її спектр склада­ється з об'єднання спектрів SVi і точок, які належать замиканню цього об'єднання. Тобто,

Sv = (|J       )\J P.

i

Міра v є мірою чистого GC -типу (в якості множини Е, яка фігурує в означенні, можна вибрати [J SVi). При цьому спектр міри v має додатну міру Лебега (A(Sv) =

i

1 a0 > 0), яка може бути як завгодно близькою до 1.

Зауваження 1. Спектр сингулярно неперервної міри чистого GC-типу може мати як нулеву, так i додатну міру Лебега.

Означення 2 . Сингулярно неперервна ймовірнісна міра / називається мірою чи­стого GP-типу, якщо існує ніде не щільна множина Е така, що

 

і і(Е) = 1,

[ Vx Є Е \/є> 0:   [x —      + є] П     множина додатної міри Лебега.

Приклад 2.

а) Нехай

О

Страницы:
1  2  3  4  5  6 


Похожие статьи

М В Працьовитий, Г М Торбін - Про класифікацію одновимірних сингулярно неперервних ймовірнісних мір за їх спектральними властивостями