Т Д Лукашова, М Г Друшляк - Про норму циклічних підгруп непростих порядків у неперіодичних групах - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки

Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова. - 2006, № 7.— С. 72-77.______________________

 

 

Про норму циклічних підгруп непростих порядків у неперіодичних групах

 

Т. Д. Лукашова, М. Г. Друшляк (Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка)

 

 

Анотація. Вивчаються неперіодичні групи, що мають недедекіндову норму циклі­чних підгруп непростих порядків. Встановлено, що такі групи є майже дедекіндо-вими і збігаються з вказаною нормою.

 

Abstract. Non-periodic groups, which norm of cyclic subgroups of non-prime order is non-Dedekind, are studied. Such groups are almost Dedekind and coincide with given norm.

У сучасній теоріїгруп важливе місце займають результати, пов'язані з вивченням груп залежно від властивостей різних систем їх підгруп. До цього напрямку відно­сяться також дослідження, в яких обмеження накладаються не власне на підгрупи, а на відповідні норми. Е-нормою прийнято називати максимальну підгрупу, що нор­малізує кожну підгрупу системи Е = 0 всіх підгруп групи G з певною теоретико-груповою властивістю.

Поштовхом до розв'язування цієїпроблеми стала низка досліджень щодо вивче­ння будови груп, які збігаються зі своїми Е-нормами для заданоїсистеми підгруп Е, тобто груп, в яких кожна підгрупа системи Е є інваріантною.

Уперше ситуацію, коли Е-норма є власною підгрупою групи, було розглянуто Р.Бером [8] для системи Е, що складалася з усіх підгруп даноїгрупи. Ці дослідже­ння було продовжено у роботах [9]-[12] для різних систем підгруп Е та при різних обмеженнях, що накладалися на відповідні Е-норми.

Авторами продовжується вивчення властивостей груп за заданими властивостя­ми їх Е-норм і розглядаються неперіодичні групи, в яких норма циклічних підгруп непростих порядків є недедекіндовою.

Нормою циклічних підгруп непростих порядків групи G будемо називати перетин нормалізаторів усіх циклічних підгруп групи G, що мають складений або нескінчен­ний порядок, та позначатимемо її Nc(Cp).

Зрозуміло, що в неперіодичній групі G, яка збігається зі своєю нормою NciCp). інваріантними є всі циклічні підгрупи складеного чи нескінченного порядку. Такі

©   Т. Д. Лукашова, М. Г. Друшляк, 2006групи за умови їх недедекіндовості вивчалися в [13] i були названі майже дедекін-довими групами. Будову неперіодичних майже дедекіндових груп описує наступне твердження.

Твердження 1([13]). Неперіодична група G є майже дедекіндовою тоді i тіль­ки тоді, коли G = CX (Ь),де C неперіодична абелева група, \b\ = 2, b~lcb = c~l для будь-якого елемента c Є C.

Безпосередньо з твердження 1 випливає, що в довільній неперіодичній групі без інволюцій норма Nc(Cp) абелева.

Оскільки норма Nc(Cp) неперіодичноїгрупи нормалізує кожну нескінченну ци­клічну підгрупу групи G,to NG(Cp) С NG(C00),де Ng(Coo) норма нескінченних ци­клічних підгруп групи (див. [9]). Окрім того, в групах без скруту NG(Cp) = NG(C^), тому, враховуючи результати роботи [9], встановлені для норми Ng(C^), мають місце твердження.

Теорема 1. Якщо G група без скруту, то її норма NG(Cp) є центральною підгрупою і збігається з нормою NG(CX).

ДОВЕДЕННЯ. Нехай G група без скруту, тоді вона не містить циклічних підгруп складеного порядку, а значить NG(Cp) = NG(CX). За теоремою 1 [9] NG(C^) = Z(G). Отже, й NG(CP) = Z(G).

 

Наслідок 1. Довільна група G без скруту, що є скінченним розширенням норми NG(Cp ), абелева.

Доведення. Нехай [G : Ng(Cp)} < оо.Тоді Ng(Cp) = Z(G), [G : Z(G)} < оо іза лемою Шура \Gl\ < оо. Оскільки G - група без скруту, це можливо лише за умови Gl = E. Отже, група G абелева.

Перейдемо до вивчення мішаних неперіодичних груп. Наступні приклади підтвер­джують, що норма Ng(Cp), яка є власною підгрупою мішаноїнеперіодичноїгрупи G, може як співпадати з нормою Ng(C^), так і бути відмінною від неї.

Приклад 1. G = ({a)x{b})\ {c}, \a\ = \Ь\ = оо, \c\ = 33, c~lac = Ь, c~lbc = a~lb~l. У цій групі і NG(Cp) = NG(Coo) = {a}x{b} і NG(Cp) породжується всіма елемен­тами нескінченного порядку групи.

 

Приклад 2. G = ({a}x{b})\ {c}, \a\ = \b\ = оо, \c\ = 6, c~lac = ab, c~lbc = a~l. У цьому випадку NG(Coc) = ({a}x{b})\{б3},а NG(Cp) = Z(G) = E. Отже, Ng(Cp ) = Ng(C^).

 

Лема 1. Якщо центр Z(G) неперіодичної групи G .містить елементи нескін­ченного порядку, то норма NG(Cp ) абелева і збігається з центром Z(G).

ДОВЕДЕННЯ. Нехай у центрі Z(G) групи міститься елемент нескінченного поряд­ку. Тоді за лемою 2 роботи [9] норма Ng(C^) нескінченних циклічних підгруп групи G абелева і збігається з центром групи. Враховуючи включення Ng(C^) D Ng(Cp), одержимо, що NG(Cp) = Z(G).

 

Наслідок 2. Будь-яка неперіодична група G, що є скінченним розширенням цен­тра Z(G), має абелеву норму NG(Cp).

 

Лема 2. Якщо норма NG(Cp) неперіодичної групи G не містить елементів не­скінченного порядку, то вона абелева.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай норма Ng(Cp) періодична. Тоді для довільного елемента x Є G нескінченного порядку }Г\ NG(Cp) = E. Оскільки у групі Gi = {x} NG (Cp) підгрупи {x} та NG(Cp) є інваріантними, то Gi = {x}x NG(Cp) і x Є Z(G1 ).Зале-мою 1 норма NGl(Cp) групи G1 абелева, отже й норма NG(Cp) С NGl(Cp) також буде абелевою.

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

Т Д Лукашова, М Г Друшляк - Про норму циклічних підгруп непростих порядків у неперіодичних групах