Л А Хижняк - Разворачивание мягкой оболочки в поле центробежных сил - страница 1

Страницы:
1  2 

МЕХАНІКА

 

 

 

 

 

 

 

УДК 532.511

РАЗВОРАЧИВАНИЕ МЯГКОЙ ОБОЛОЧКИ В ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ

 

Л.А.Хижняк, канд. физ.-мат. наук

Сужений государственный университет, ул. Р.-Корсакова, 2, Сумы, 40007

 

В данной работе объектом исследования является мягкая оболочка, которая моделируется системой сосредоточенных масс, соединенных между собой односторонними упругими связями. Согласно принятой модели мягкой оболочки была составлена нелинейная система дифференциальных уравнений движения системы вал - оболочка с переменной угловой скоростью.

 

ВВЕДЕНИЕ

Под мягкой оболочкой понимается тонкая оболочка, выполненная из материала, воспринимающего только растягивающие усилия.

В отличие от существующих моделей расчета таких оболочек на основе теории сплошных сред предлагается модель оболочки, состоящей из системы дискретных материальных точек, соединенных между собой односторонней упругой связью. Вывод уравнений движения такой модели относится к динамике системы твердых тел [1]. В данной работе методы аналитической механики применены к материалу, который является сплошной средой.

Задачи о совместном движении двух и более тел имеют широкое распространение [2,3]. Работа была выполнена в рамках программы разворачивания мягкой оболочки в космическом пространстве. На тот момент решения подобных задач в литературе не было, поэтому была предпринята попытка представить мягкую оболочку как систему твердых тел, соединенных упругими односторонними связями.

Обзор литературы последних лет так же не дал положительных результатов. Есть автореферат диссертации О.И. Безверхова, НАН Украины, институт механики им. Тимошенко (2005 г.), в котором разработан и численно реализован метод анализа динамического деформирования упругих и вязкоупругих систем с сосредоточенными массами.

Для постановки задачи о разворачивании безмоментной оболочки с учетом диссипативных сил был проведен обзор литературы [5-7]. Экспериментальными работами [8-10], проведенными под руководством академика Писаренко Г.С., показано, что затухание колебаний пропорционально амплитуде колебаний.

Так как построенная модель мягкой оболочки предполагает только растяжение соединяющих нитей по закону Гука, то и диссипацию энергии в нитях вводим на основе Релеевской диссипативной силы пропорционально удлинению нити.РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ Мягкая оболочка, имеющая в плане диаметр D, упакована в ограниченный объем. В результате вращения этого объема под действием центробежных сил происходит разворачивание оболочки и расположение её в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Для вывода уравнений движения оболочка диаметром D была разбита на n элементов радиальными и окружными линиями (рис.1). В точках пересечения этих линий приложены массы соответствующих элементов разбиения -сосредоточенные массы. Каждая сосредоточенная масса связана с соседними четырьмя сосредоточенными массами упругими невесомыми связями, работающими только на растяжение.
Обозначим координаты каждой сосредоточенной массы (или материальной    точки)     піц     в    относительной    системе координат,

вращающейся со скоростью m(t) : Гц ,щ, Хц, i = 1 N - разбиение по радиусу, j = 1 M - разбиение по окружности n = N х M . Тогда в абсолютной системе координат будем иметь

 

ГЦ = Гщ,   j[j = jij +J w(t )^   Х'щ = xij.

 

Кинетическая энергия каждой материальной точки в абсолютном движении будет [ 4 ]:

 

 

Ц-                  2                      .                           ( )

 

Потенциальная    энергия    упругой    связи пропорциональна

квадрату удлинения упругой связи. Удлинение связи вычисляем как разность расстояний между двумя соседними точками в произвольный

момент времени    Rijи расстоянием 1Ц'  в развернутом неподвижном

состоянии:Г"ij + Г2i-1j " 2rijri-1j cos        " jij) + (xij - xi-1j )2


1


(2)где k =1-4Каждая  материальная  точка   mij   имеет  по  четыре односторонние

упругие связи (k =1-4). Точки внешнего края по три упругие связи. Точки внутреннего ряда закреплены на вращающемся валу. Таким образом, потенциальная энергия точки  mij имеет вид(3)

 

рц=zп(;

|П(к),    если    R(k), Є

(4)

0,          если    Rj ; < Ij:>.

 

Односторонняя упругая связь выражается равенством

 

пк)=< ij

 

Считая введенные выше связи между материальными точками идеальными, поэтому можем использовать метод Лагранжа для вывода уравнений движения массы mij :d дтц 5Tij

dt dql dql


l = 1,2,3 ,


(5)d

 

 

Тогда система дифференциальных уравнений относительного движения точек при переменной угловой скорости вращения будет иметь

видГт   +w)2 -z

k=1


dRk)

dr;l1 4

■2rij        + W)rij -~2 z


1*)

m


(k)

 

dji,(6)

 

k=1


m


(R(p- f\


(k)


dR


ij =1,2,...,N-В системе уравнений (6) угловая скорость a (t) является неизвестной,

зависящей от времени величиной. Для её определения необходимо еще одно уравнение, связывающее движение мягкой оболочки с движением вала в единую динамическую систему. Дополнительное уравнение получим, используя теорему об изменении кинетического момента.

Вычислим кинетический момент этой системы материальных тел относительно начала координат, совпадающего с осью вращения вала.Вектор скорости сосредоточенной массы в неподвижной цилиндрической системе координат

vij = rijr + zijz + rtj (фц + со)ф ,

где r, ф, z - единичные орты.

Кинетический момент этой массы равен

hj = rij х mijvij = mij [rij x rijr + zijrij x z + rij (jij + w)rij x ф] Проекции кинетического момента на оси координат равны

N

Lz = Z mij^ (<Pij + Ю)' i,j=1

 

L = Z mijrijzij >

i,j=1

 

Lr = 0 - на основании свойств векторного произведения.

Кинетический момент вала Lz = Izw , где Iz - момент инерции. Применяя теорему о кинетическом моменте системы, получим

 

d(Lz + Ігеа) = Mz,    dLj = Mj,              = Mr ,

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Л А Хижняк - Разворачивание мягкой оболочки в поле центробежных сил