И В Гребенник - Интервальное оценивание альтернатив при принятии решений в геометрическом проектировании - страница 1

Страницы:
1  2  3 

БИОНИКА ИНТЕЛЛЕКТА. 2008. № 2 (69). С. 56-60

ХНУРЭ

УДК 519.859

INTELLIGENCE

ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ АЛЬТЕРНАТИВ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ

И. В. Гребенник1, Т.Е. Романова2, С.Б. Шеховцов3

1 ХНУРЭ, г. Харьков, Украина, grebennik@onet.com.ua 2 ИПМаш НАНУ, г. Харьков, Украина, sherom@kharkov.ua 3 ХНУВД, г. Харьков, Украина, tarom7@yahoo.com

В статье рассматриваются задачи принятия решений в случае интервальной неопределенности, когда исходные данные заданы в интервальном виде. Строятся интервальные математические модели указанных задач. Прелагаются подходы, основанные на модификациях известных детерминированных методов принятия решений и интервальном анализе.

ИНТЕРВАЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ, МНОГОФАКТОР­НЫЕ ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ

Введение

Системы поддержки принятия решений ис­пользуются при решении многих научных и при­кладных задач. Основу математического обеспе­чения таких систем составляют математические модели задач принятия решений, относящихся к различным классам, и методы их решения [1]. На практике значительную часть решений приходит­ся принимать в условиях неопределенности. В час­тности, эта проблема актуальна в классе оптимиза­ционных задач упаковки, раскроя и покрытия [2].

Существуют различные методы учета неопреде­ленности в математических моделях задач приня­тия решений [3—5].

В данном исследовании в качестве средства ма­тематического моделирования процесса выбора решений в условиях неопределенности использу­ются методы интервального анализа [6].

Целью настоящей статьи является распростра­нение известных методов решения детермини­рованных задач принятия решений на случай ин­тервальной неопределенности. Здесь и далее под интервальной неопределенностью понимается случай, когда все исходные данные задачи приня­тия решений заданы в интервальном виде.

Постановка задачи. Пусть X множество до­пустимых решений, каждое из которых оценивает­ся множеством критериев. Полагаем, что значения критериев определены с точностью до некоторых интервалов [a,b] с Я1. Необходимо найти решение x0 є X , лучшее по всем заданным критериям в ус­ловиях интервальной неопределенности оценок альтернатив по заданным критериям.

Пусть {k1(x),k2(x),...,kn(x)} множество ин­тервальных отображений вида k;-: XEi с IsR , iє Jn = {1,2,...,n}. Здесь IsR = IsRиIsR пространс­тво центрированных интервалов, где IR = {(X) = ( x,v x)| b - a

a + b 1

x =Я ,vx

2 x

IR = {(X) = (x,-vx)|v(X)єISR],

E, = {(X) є IsR: x є Я1,] v x| },

где 8, верхняя оценка «неопределенности» зада­ния критерия k{ (x).

1. Интервальная математическая модель задачи принятия решений

Определить

x0 =

arg extr {k1(x ),k2(x),...,k n (x)}

(1)

2

є Я1, [a,b] с Я1},

где экстремум интервального отображения пони­мается в смысле отношения порядка и способа оп­ределения максимума и минимума в пространстве

Заметим, что в случае, когда для всех ki (x) = (kt (x),vk(x^   выполняется соотношение

vk (x) = 0 , задача (1) представляет собой детерми­нированную многокритериальную задачу приня­тия решений.

Отношение порядка в пространстве IsR вво­дится следующим образом [6]:

V X) = ( x,v Л є I.R , V {¥) = (y,v у) є I.R ((X) < (¥}) Ц(x < y) v (x = y)л (vx <vy)), (2)

«X> > <Y>H(x >y )v(x=y )4vx >v y)), «X)=(Y))«((x=y )4v x =v y)).

На основе (2) минимум из n интервальных чи­сел        Z2),...,(Zn) определяется так:

(Z*) = min{(Z^),...^>} , (3)

где

(Z*) = l\Z, v] = Пш1Vz^ , если Z1 = Z.2 = ... = Zn = Z , (Z *) = (z* = Zij = V^Zi, vZij), ij є Jn, j є Jn ,

если z.ii * Zik, i є Jk, j * k,

(Z*\ = (z* = minz.i,vZ = vz = minvz ), если zh = Zh =... = zr = z%

Аналогичным образом определяется максимум из n интервалов. Данный подход к определению минимума (максимума) распространяется и на случай бесконечного множества центрированных интервалов.

2. Анализ особенностей интервальной задачи

Задаче принятия решений в условиях интер­вальной неопределенности вида (1) присущи мно­гие особенности детерминированных задач приня­тия решений.

Для решения задачи (1) предлагается постро­ение и использование интервальных математи­ческих моделей, реализация которых основана на применении известных методов решения много­критериальных задач при к{: X Я1, модифици­рованных для случая интервальных значений част­ных критериев k, (x) в IsR.

При реализации неконструктивного подхода к выбору решения [7], обязательным является пост­роение области компромиссов с X. При конс­труктивном подходе (построение математической модели) эта процедура не обязательна, но часто желательна из вычислительных соображений.

Рассмотрим интервальные математические мо­дели определения области компромиссов на множестве допустимых решений X .

Если множество X дискретно и содержит не­большое число элементов, то для построения об­ласти компромиссов используется попарное сравнение альтернатив x є X по интервальным оценкам.

Для любого решения x є X зададим отображе­ние f: X Y такое, что

f (x) = Y = ((^),< Y2>,...,Yn)), (4)

где (Y) = k (xj)є IsR , iє Jn. Тогда образом мно­жества X будет множество Y с InR , где InR -п -мерное интервальное пространство [8].

3. Область компромиссов для конечного множества X

Пусть X = {x1,x2,...,xm}, а каждому xj є X со­ответствует кортеж Yj = ((Y1), (Y2),...,(Yn)) оценок (Yi) = kj (xj) є IsR , i є Jn, j є Jm , по всем критери­ям из множества {k1,k2,...,kп}. Построим область компромиссов .

С этой целью осуществим попарное сравнение элементов множества X по каждому из критериев k1,k2,...,kп на основе соотношения (2) следующим образом.

Выберем альтернативы xp, xq є X и сравним ki(xp) и ki(xq) для всех i є Jn. Возможны следу­ющие ситуации: либо xq доминирует xp; либо xp доминирует xq; либо xp,xq є X несравнимы, то есть существуют такие i1, i2 є Jn, что ki1 (xp ) ^ ki1 (xq) и kh (xp) Н<і2 (xq) или k4 (xp) (xq) и ki2 (xp ) -< ki2 (xq), и вывод о доминировании эле­ментов xp,xq є X сделать нельзя.

Здесь символ н означает предпочтение на множестве Y значений критериев. В частнос­ти, когда Y= IsR , то k(xp) н k((xq) означает k((xp) >k((xq), если критерий k, максимизирует­ся, и k((xp)<k,(xq) в противном случае. Соотно­шение k(xp) ~k(xq) означает k((xp) = k(xq) .

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

И В Гребенник - Интервальное оценивание альтернатив при принятии решений в геометрическом проектировании