А Я Хейфец, П М Юдицкий - Интерполяция оператора коммутирующего с укороченным сдвигом функциями класса и шура i - страница 1

Страницы:
1  2  3 

УДК 517.539.89

А. Я. ХЕЙФЕЦ, П. М. ЮДИЦКИЙ

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ОПЕРАТОРА, КОММУТИРУЮЩЕГО С УКОРОЧЕННЫМ СДВИГОМ, ФУНКЦИЯМИ КЛАССА И. ШУРА. I

ВВЕДЕНИЕ

Будем придерживаться следующих обозначений:

L2 пространство квадратично суммируемых на единичной окружности функций; Я2 его подпространство, состоящее из функций, у которых коэф­фициенты Фурье с отрицательными индексами равны нулю (пространство Харди); Нг_ортогональное дополнение Я2 в L2; Р+ортогональный проек­тор L2 на Я2; S оператор сдвига (оператор умножения на независимую пере­менную); 0 — внутренняя функция; К9 ортогональное дополнение 6Я2 в Я2; Рв ортогональный проектор на Кв; А укороченный сдвиг (Л=ре5|/Се); Н°° пространство голоморфных, ограниченных в единичном круге функций; В множество функций голоморфных в единичном круге таких, что I wg)w (Q > 0 (класс Шура).

Под Н°° исчислением от оператора А понимается следующее: <р (А) х = = Рщ (срх);    х Ке,    ф £ Н°°. При этом jj q> (.4) jj < || ф ;j„.

Одним из важнейших фактов теории оператора сдвига является извест­ная ([4J, |3]).

Теорема Сарасона. Пусть Ф ограниченный оператор в Кв, коммути­рующий с укороченным сдвигом А: ФА = АФ. Тогда сушествует функция Ф Є Н°° «интерполирующая» оператор Ф: q> (А) Ф, jj Ф jj = jj ф

Л1ы будем говорить, что функция w класса Шура интерполирует опера­тор W в Кв, если w(A) = W, ш £ В.

Ясно, что каждый интерполируемый функцией из В оператор коммутирует с укороченным сдвигом А и является сжатием.

В статье рассматривается следующая интерполяционная задача, которую мы будем называть задачей Сарасона.

Задача Сарасона. Пусть W сжимающий оператор в Кв, коммутирую­щий с укороченным сдвигом А: I U?R7*>0, WA=AW. Требуется до-а-за>пь существование функции w £ В: w (А) W и описать все mai.ue Функ­ции,

Очевидно, что из теоремы Сарасона следует разрешимость этой задачи. Наоборот, так как в теореме Сарасона, без ограничения общности, можно считать ||Ф|| равной 1 сжимающий оператор), то из разрешимости интерполяционной задачи для оператора в классе Шура (Зф £ В : ф (А) = Ф) следует теорема Сарасона (так как 1 = || Ф || = ||ф (А) || ■< || ф \\„ ■< 1).

Эта задача была исследована Адамяном В. М., Аровым Д. 3. и Крей-ном М. Г. [5].

В. П. Потапов предложил новый плодотворный подход к исследованию интерполяционных задач. Этот подход заключается в сопоставлении рассмат­риваемой интерполяционной задаче адекватного ей матричного неравенства, так называемого ОСНОВНОГО МАТРИЧНОГО НЕРАВЕНСТВА (ОМН), и ре­шении ОМН методом факторизации. Мы исследуем здесь задачу Сарасона методом В. П. Потапова.

В § 1 излагаются в нужной нам форме сведения об операторе сдвига (теории оператора сдвига посвящена монография [3]).

В § 2 выводится ОМН задачи Сарасона

1 w (с) W {".)

і —i:

(ОМН)

где (/, g) = 2~. (jp 8 (Of -J- —скалярное произведение в Кв, индуциро-1<|=1

ванное из L2; е = Ре1проекция на Кв функции, тождественно равной еди­нице, (для £, лежащих вне круга, полагаем w (£) = w~l (l/Q; такое доопреде­ление функции w во внешности круга будем называть псевдопродолженнем).

Мы показываем, что всякая функция w £ В, являющаяся решением задачи Сарасона, удовлетворяет ОМН.

В § 3 будет показано, что всякая голоморфная в единичном круге функ­ция w(Q£B, удовлетворяющая ОМН, является решением задачи Сарасона.

Доказательство разрешимости ОМН, критерий единственности, описание всех его решений в случае неединственности и т. д. будут изложены во вто­рой части работы.

§ 1. Некоторые предварительные сведения. Большинство фак­тов, приведенных в этом параграфе, содержится, например, в [3J.

Для любой функции имеют место формулы (здесь и да-

лее, если аргумент функции не указан, то подразумевается t):

<g, -±T->=g(Q   (l~tt>0) (1); P+-^-=ML, (I-

1 -        IL, [ -£(, 1 - ti,

-£"£>0)<2).

Пусть в внутренняя функция, /Св = Я2©@Я2, тогда проектор Нг на К%_ имеет вид Ре = / — 0Р+9 = 0Р_0. (3). Таким образом, y.rg/(e ®х£Н\ Более того QxZJLtx* (\Ц= О (4), где Ясно, что операция х% Qtx (5) является инволяцией в Кв-

Оператор, сопряженный к w(A), вычисляется по формуле w(A)*x= = P+{w х) (6). Обозначим через еіе = РвІ, где 1функция, тождественно равная единице.

е = 1 - ЄЩ0): (7)

Для любой функции w^H™ w(A)e = P®{we) = Рцію (8), е— цик­лический вектор для Л. Действие резольвенты Л на е имеет вид

<?с = (/ - U)~le = ' ~    ® vS: 1/S Є а (в). (9)

Под спектром G понимается множество точек t0, в которых lim 19 (£) i = 0. Спектр 0 совпадает со спектром А. При !£!<!

€С = Ре-^- В силу этого /Се: < л-, е; > = x{Q {\ Ц> > 0) (10). Для любых чисел £ и ц таких, что 1/и.£о(0) < ес, eu > =- - - ■ -■ (11). Вектор в порождает образ опе-

! — ці

ратора /—ЛЛ*, а-именно: (/ — ЛЛ*) х = е < х, е>, ух£Кв (12). Вычислим вектор <?* = = 0П1 вё~(0)] = — 9 (0)] t = =-——   (13),    циклический вектор для Л*. Действие ре-

Q _0

зольвенты  Л*  на        имеет   ВИД  <?*; = (/ —£Л*)_1     =-t_i '

1/5 £g(®) (14). Сравнивая (9) и (14), можно получить тождество в (С) Л*)"1^ = (/ — СЛ)-1^ (15). Для любых £ и ц таких, что 1/5 и        а (Є) <*,с, ^ > = 1   в (^) в (£) Вектор по_

1 — |хС,

рождает образ оператора / — А*А, а именно (/—Л*Л) х= е*<х, <?*>, у*Є (17). Покажем, что е^=ек:п7~     cw 1 ее(ч>      Є Є(£) ,.оч e^=zQter=Qt—--= ——-Ьі=е+;. (18)

Пусть WA=AW, тогда = (We)*- (19). Действительно, ис-

пользуя соотношение (18) и определение инволюции, получим

(We), (0 = < (We)„ ес > = < GTWe, 0fe%; > = < е*:, We > =

= < (/ - ^ > = < e: > = (1Г%) (С).

Можно получить и более общий факт (IFx)^ W*x#, ух£Кв- (20) В самом деле (Wx)* Q = < (Wx)*, ес > = < 0Жх, 01ё^- > = = < е*с,      > =* < Г* (/ — t,A*Y%, х>. В силу (18) W* (I

- £Л*)-^ = [W (I —\А)-1е]л. Тогда (Wx), (Q = < [W (I Ы)^е}я

x> = <x*,W{I ІА)-Ч > = < W*x„ е: > = (W*x*) (£). Заме­няя в (20) х на х^, имеем (W*x)* = Wx* (21). Используя соотно­шения (18) и (15), можно получить соотношение

<(С-ЛГЧ *> = < 1, Сёо(0)). (22)

Отметим, что семейство векторов {(£*— А)~1е), где £й имеет пре­дельную точку вне спектра 0, является полным в Кв (см. (10), (22)).

Пусть 0 = 0j 02, где внутренние функции, тогда Кч = = 0І/Се2Є/Сві = 02/Св1фХвг (23).

§ 2. Вывод ОМН. В этом параграфе показано, что если Wx — = w (А) х = Рв (wx), ух £ Кв, причем 1 — w (£) w (£) ^ 0 (при 1 —

££>0), то функция w(Q удовлетворяет основному матричному неравенству (ОМН), которое приведено во введении. Напомним, что во внешности круга w (£) задается псевдопродолжением (т. е.[

w(Q = w-i(l/Q при i£|> I).

При таких соглашениях это неравенство равносильно двум

<(I WW*)x, х>

ух£Ке, 1-К>0, t£e(®) и

~<(I-WW*)x, х>     <}-W ™me,x>

J At,

* 1 - и» (С)

1-Й

ух£Кв, 1 — Й > 0. Отметим, что на самом деле (24) и (25) эквивалентны между собой.

<  а-11  е' х>

1 — ЬЙТГ) w (t)

1

> 0 (24)

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

А Я Хейфец, П М Юдицкий - Интерполяция оператора коммутирующего с укороченным сдвигом функциями класса и шура i