М В Працьовитий, Б I Гетьман - Ряди енгеля та їх застосування - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8 

Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки
Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова. - 2006, № 7.— С. 105-116.______________

 

УДК 511.72

Ряди Енгеля та їх застосування

М. В. Працьовитий, Б. I. Гетьман (Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова)

 

 

Анотація. В роботі обгрунтовується, що довільне число x Є (0,1] можна єдиним чином подати у вигляді ряду Серпінського-Енгеля

Е

1                                                                        л E

:1 (2 + gi)(2 + gi + g2) ...(2 + gi + ... + gn) =

де gk є{0,1, 2,...}. Вивчається геометрія такого зображення (властивості цилін­дричних множин, геометричний зміст цифр, основне метричне відношення тощо). Використовуючи здобуті метричні співвідношення, досліджуються множини канто-рівського типу спеціального виду.

 

Abstraot. In this paper we prove that any number x Є (0,1] can be uniquely repre­sented in the form of Sierpmski-Engel series:

0

x = V ________________ 1_______________ EE AE

k=1 (2 + gi )(2 + gi + g2) ... (2 + gi + ■■■ + gk) 9i92^gk^^

where gk Є{0,1, 2,...}. We study the geometry of such a representation (properties of cylindrical sets, geometric interpretation of digits, basic metric relation, etc.). Using obtained metric relations, we solve metric problems and study special sets of Cantor

type.

 

Вступ

 

У 1911 році В. Серпінський в роботі [6] розглядає алгоритми розвинення (роз­клади) дійсних чисел в знакододатні та знакозмінні ряди, членами яких є числа, обернені до натуральних. Серед них ряди Остроградського 1-го та 2-го виду [1]-[7], а також ряди виду

оо 1

1 a1a2 --ak

де (an) монотонно неспадна послідовність натуральних чисел, an > 2. Стосовно останніх він доводить, що кожне число з півінтервала (0,1] можна розкласти в такий

©   М. В. Працьовитий, Б. I. Гетьман 2006

Робота частково підтримана проектом DFG 436 113/80, SFB 611ряд. Наводяться приклади розкладів деяких чисел, зокрема,

= 11 1 Є -   = 2+2Гз + 2 3 4 + "';

3 - V5 = 1      1                    1 1

2     = 3 + 3^7 + 3 7 47 + 3 7 47 2207 + '''' Авторство останнього розкладу Серпінський приписує Люку (Lukas E.), посилаючись

на 331 сторінку його монографії ("Theorie des nombresT.1, Paris, 1891), де такий

розклад називається рядом Пелля (Pell). Більшє того, Сершнський вказує загальний

алгоритм розкладу чисел виду a-^a2-4 ,a є N, який ґрунтується на рівності

a \J a2 4     1     a2л/ a2, 4
2                        
ai 2ai

де ai,a2 Є N, а також зупиняється на питанні швидкості збіжності рядів цього класу.

Через три роки (1913 - 1914) ряди вказаного виду фігурують в тезах доповіді німецького математика Енгеля [5] без посилань на Серпінського. Так склалось, що в подальших дослідженнях такі ряди стали називати рядами Енгеля. В першу чергу, це завдяки німецькому математику Штратемейеру (Stratemeyer G.), який при­святив таким рядам своє дисертаційне дослідження (одним з опонентів на захисті якого був Енгель) [9]. В цьому випадку, як і в багатьох інших, вибір терміну не мав науково-історичного обґрунтування (нам, принаймні, невідомі інші роботи Енгеля, де бвивчалися чи використовувалися такі ряди). Оскільки ж термін "ряди Енгеля" прижився в науковій літературі [7, 8, 10, 11, 12], то ми далі будемо підтримувати цю традицію.

Вбачаючи перспективність у використанні розкладів чисел в ряди Енгеля для вивчення функцій, перетворень і мір зі складною локальною структурою, зокрема, їх фрактальних властивостей, в даній роботі ми здійснюємо свій самостійний виклад основ метричної теорії таких розкладів, запропонувавши їм нову різницеву форму запису. Ми доводимо кілька нових результатів, які стосуються тополого-метричних властивостей множин дійсних чисел з обмеженнями на вживання символів алфавіту.

 

1. Ряди Енгеля

 

Означення 1. Рядом Енгеля називається вираз виду

 

qi + 1 + (qi + 1) 2 + 1) + (qi + 1) (?2 + 1) з + 1) + "' , ^ де qk натуральні числа, причому qk+i > qk'

Прикладами рядів Енгеля є: ^ 1

1. у ------ , де (uk) — класична послідовність Фібоначчі без першого члена, тобто

 

ui = 1, U2 = 2, Uk+2 = Uk + uk+i;г 1

2.        mi+m2+ +тк, де 5 фіксоване натуральне число, більше 1, (mk) — неспадна

smi+m2+...+mk

послідовність натуральних чисел;

о

 

k=о    Г га       "1 i

4.            ~\pk      , (pk) — зростаюча послідовність всіх простих чисел.

га=1 Lk=i

Згідно з теоремою Д'Аламбера кожний ряд Енгеля є збіжним. Очевидно, що сума ряду (1) належить (^1+, 1 '

Якщо всі qk = s1, то очевидно, що ряд є сумою всіх членів нескінченно спадної

1

геометричної прогресії, перший член і знаменник якої дорівнюють -'

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8 


Похожие статьи

М В Працьовитий, Б I Гетьман - Ряди енгеля та їх застосування