В Карпенко, Ю Стародуб - Рівняння гаусової лінії на поверхні - страница 1

Страницы:
1  2 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ

Сер. прикл. матем. та інформ.

2008. Вип. 14. C. 98-104

VISNYKLVIV UNIV Ser. Appl. Math. Comp. Sci. 2008. No 14. P. 98-104

 

УДК 501

РІВНЯННЯ ГАУСОВОЇ ЛІНІЇ НА ПОВЕРХНІ В. Карпенко, Ю. Стародуб

ДП Науканафтогаз НАК Нафтогаз України м. Вишневе, Київської обл., 03035, вул. Київська 8А, e-mail: karpenko@naukanaftogaz.kiev.ua, starodub@naukanaftogaz.kiev.ua

Доведений загальний зв'язок кривин точок у лінії на поверхні у вигляді її загальної кривини, яку детерміновано утворюють параболічні, гіперболічні, еліптичні кривини точок, стохастично розсіяні у лінії за законом нормального розподілу. Загальна кривина лінії поставлена у відповідність фізичним законам збереження, зміни, перенесення й упакування енергії в кожній точці.

Ключові слова: точка, лінія, поверхня, кривина. 1. ВСТУП

Існує загальна наукова проблема: безпомилково вилучити інформацію про фізичний об'єкт на підставі знання про його фізичний стан. Така ситуація є у багатьох науках. Наприклад, у сейсморозвідці [4, 5] існує проблема, на вирішення якої спрямовані методи прикладної математики та математичної статистики, диференціальної геометрії. Аналізують експериментальні дані, наведені у вигляді дискретної послідовності точок з певними координатами, що містять у собі фізичну інформацію, яку треба вилучити. Формулюють задачу: для заданих крайових (початкових і граничних) умов знайти лінію, що задовольняє дискретну послідовність точок експериментальних даних. Використовують різні моделі лінії: дискретно-неперервну, кусково-ламану, неперервну, що дають змогу визначити шукану інформацію на відрізку лінії. Однак для ефективного розв'язання практичних задач таких даних недостатньо, оскільки визначена інформація є неприйнятно усередненою.

Для вичерпного визначення інформації в кожній точці зареєстрованих даних, відображених послідовністю точок у дво-, три- або чотиривимірному просторі, пропонуємо використати для названої послідовності точок математичну модель неперервної кусково-криволінійної лінії з формулюванням такої задачі: для заданих крайових умов знайти лінію, що їх задовольняє, кожна точка якої відповідає загальним співвідношенням між її основними (серединна і гаусова) кривинами і відображає рівномірний розподіл кривин точок у лінії. Така лінія є лінією кривини, у разі накладених на неї умов про рівномірний розподіл кривин між точками назвемо її гаусовою лінією.

З диференціальної геометрії відомо [1, 3]:

1)   лінією кривини на поверхні називають криву, у кожній точці якої дотична належить площині головного нормального перерізу в цій точці;

2)   згідно з теоремою Гауса-Бонне, що розглядає зв'язок безперервної гаусової кривини K у замкненій однозв'язній області поверхні S, границя якої складається з n

 

 

© Карпенко В., Стародуб Ю., 2008

 

 

 

4    a~ + a_    п +1


(6)

 

п—1

де ц = —,    Y1 =4 a

П +1,

Перемножимо друге рівняння системи (4) на a_, отримаємо

a~ a = a (Y + a ), (7) а віднімаючи від першого рівняння системи (4) друге, визначимо a   у вигляді

2a _ = 4_ Y1;

звідки

a_= 2(4_¥l). (8) Запишемо рівняння (7) з використанням (8) у вигляді

a~ a_= 2 (4_Y1 )/y + \4_ ±Y ^ = \ {4' _Y), (9)

 

1

aa =

~ _ 4

а з використанням підстановки (6) у (9) -

п+1

П_ 1

42 _ 4

 

Систему рівнянь (3) запишемо у вигляді


44 ((_ y


 

/ \2

k2 _4k+42(p0 = 0 ,

rj       a~ a

r+1

кривини.

Для системи рівнянь (4) рівняння (1) отримаємо одразу

k2 _4k+42pp = 0,


 

k


(10)

 

оператор

 

 

 

(11)

 

2   - Y2


r


a a

 

4  (n+1) 4

Для системи рівнянь (5) виконаємо такі перетворення. Віднімемо від першого рівняння друге, отримаємо

 

де  Y3 =rj . Тоді

 

і рівняння (1) має вигляд Y3     = n

де p0

4

1 +Y3

 

 

r

aa = y3 a2 = 41 —Y—- = 41 ~ _       _       (1+ Y3)2       (1+П)

 

k2 _4k+42pp = 0,

a a


 

 

 

 

■4Y3


(12)

 

(13) (14)

 

 

 

І Y

_=Y2_ = 1

2

 

' Y3 = Y2 = 1 (1_ Y1 ) = "

І

(1 + jj)2    (1 + n) 4


:p0

 

 

 

n_ 1 n+1


 

 

 

2


 

 

 

 

:p0


42

 

 

2 a~ a_ '°0 =~TT


 

 

(15)

 

Рівняння (10), (11), (14) мають розв'язок

 

1,2


4


1 ±. 1


p0


(16)

 

Залежно від pp оператор кривини набуває дійсних або комплексних значень.

Якщо 4 , Р0 в рівнянні (16) записати через a~ і a  , то рівняння (10), (11),

(14) не виходять за межі дійсних чисел і мають розв' язок

 

 

1,2


11

la + a ) + (a _a


(17)

 

тобто k1 = a~ і k2 = a_ (коли головні кривини не пов'язані між собою, для H2 < K ).

Рівняння (16) допускає існування комплексних головних кривин, коли вони пов'язані між собою, що виникає у випадку, коли H2 > K, тобто коли радіуси головних кривин (або один з них) менші від одиниці. Тоді розв' язок (16) має вигляд

 

1 +

4

2 цp0 _ 4

Остаточно системи рівнянь (3), (4), (5) задовольняють рівняння

k2 _4k+4РР = 0,


(18) (19)

 

a a

 

42


4H2

 

Останнє твердження теореми доведене.

Розглянемо рівняння (19) у вигляді лінійного оператора, який відображає задану середню кривину на середню кривину з урахуванням внутрішньої геометрії ліній точок:

 

k/4

W0

 

1

1

1 2Hk

4 2Hn  pp42+k2  4 vP + k2/42  4 pp + W02


(20)

 

або

 

4=1


W0

pp+W


(21)

 

де wa


k

4


- дійсна (комплексна) функція; {n(...)} - пі-операторна функція.

 

Рівняння (21) у структурному вигляді зображене на рис. 1.

 

2H


W 0

 

 

 

 

 

Рис. 1. Структурна схема псевдоскаляра середньої кривини ліній точок поверхні, який не змінюється в разі розглядання його в будь-якій системі відліку.

Для кругової лінії точок W0 = 1, оскільки p0 = 1. У випадку зображення лінії на поверхні як послідовної системи кругових ліній точок, між якими не існує розриву, функцію W0 можна розглядати як базову сталу величину в разі всіх поточних змін

головних кривин, які становлять структуру функції p0 в разі зміни координат відпершої лінії точок до другої і т. д. Тоді пі-операторну функцію кривини ліній точок поверхні можна розглядати у таких виглядах:

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

В Карпенко, Ю Стародуб - Рівняння гаусової лінії на поверхні

В Карпенко, Ю Стародуб - Рівняння гаусової лінії на поверхні