I М Працьовита - Ряди остроградського 2-го виду i розподіли їх випадкових неповних сум - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9 

Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки

Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова. - 2006, № 7.— С. 174-189._____________________

 

УДК 519.21

Ряди Остроградського 2-го виду i розподіли їх випадкових неповних сум

 

I. М. Працьовита (Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова)

 

 

Анотація. В даній роботі вивчаються властивості рядів Остроградського 2-го виду. Доводиться, що їх суми є ірраціональними числами. Знайдено деякі співвідношення між членами ряду та виразами, що в ньому фігурують. Описано тополого-метричні та фрактальні властивості множини неповних сум довільного заданого ряду Остро-градського 2-го виду. Доведено, що випадкова неповна сума заданого ряду Остро-градського з незалежними доданками має або чисто дискретний, або чисто сингу­лярний розподіл канторівського типу. Знайдено достатні умови, при яких функція розподілу випадкової неповної суми зберігає фрактальну розмірність.

 

Abstract. In thus paper we study properties of the second Ostrogradsky series. It із proven that sums of such series are irrational. Some relatkms between terms of the second Ostrogradsky series and other expresskms related to the series are found. Metric, topological and fractal properties of sets of incomplete sums of an arbhtrary second Ostrogradsky series are described. It іs also proven that a random mcomplete sum of a given Ostrogradsky series with independent addends has either purely dіscrete or purely singularly continuous distribution of the Cantor type. Sufficient conditions under which the probability distribution function of a random mcomplete sum preserves the fractal dimension are also found.

 

1. Вступ

В XIX столітті в роботах Дедекінда, Кантора, Вейєрштрасса та інших була ство­рена теорія дійсних чисел. Пізніше була побудована аксіоматична теорія дійсного числа. Сьогодні бурхливо розвиваються ймовірнісна, метрична, ергодична та фрак-тальна теорії чисел. Загальна аксіоматична теорія дійсних чисел має різні інтерпре­тації. Різні теорії вивчають окремі її моделі. Це теорія s-кових розкладів [4], лан­цюгових дробів [10], (^-зображень [4] тощо [11]. В кожній з цих теорій дійсне число "одягається" в ту чи іншу форму, що часто є формально або змістовно зручним при

©   I. М. Працьовита, 2006розв'язанні ряду задач. Два алгоритми розкладу чисел в знакозмінні ряди незадов­го до смерті розглянув вітчизняний математик М.В.Остроградський, які детально описані в роботах Ремеза ([8],[9]).

Перший алгоритм Остроградського дозволяє розкласти дійсне число в ряд виду

1                    (-1)k~1 (-1)k-1

------- +----------- ... + -—-— +... = > -—-—.

ПлГІ^ГІп      п,         Пі               '     J  П, Пі

qi     Q1Q2    Q1Q2Q3 QiQ2 ...qk         k=i Ql ...qk

де

qi,q2,... Є N,  qk+i > qk + 1,k Є N. За другим алгоритмом числа розкладаються в ряди виду

 

111

q1      q2      q3               qk                     k=1 qk

1             (-1)k-1            ^ (-1)k-1
---- +------ ... + -------- + ... = >------------ .

fin                   Пі- ---------------- ' Пі-


 

 

 

 

 

 

 

 

(2)де

qk Є N,  qk+i > qk (qk + 1),к Є N.

Інтерес до розкладів Остроградського висловлював інший видатний вітчизняний математик Б.В.Гнєденко, в примітках наукового редактора до книги Хінчина "Це­пные дроби" [10]. Відзначимо, що незалежно від Остроградського до розкладів (1) і (2) прийшов польський математик В.Серпінський [15]. Розвинення чисел в ряд (1) вивчав також Пірс [16], що обумовило називати в англомовній літературі такі роз­клади розкладами Пірса ([12], [13], [14]).

За останнє десятиліття ряди Остроградського 1-го виду інтенсивно вивчались([1], [2], [4], [5], [6]), що не можна сказати про ряди Остроградського 2-го виду. Незва­жаючи на деяку візуальну схожість, розклади чисел в ряди Остроградського 1-го та 2-го виду мають принципові відмінності. В першу чергу, це різний алгебраїчний (арифметичний) та геометричний зміст елементів представлення. Ці розклади по­роджують різні метричні співвідношення, а отже, мають різні метричні теорії. В перспективі ми плануємо детально вивчити ці відмінності і по аналогії з ланцюго­вими дробами і рядами Остроградського 1-го виду створити теорію розкладів чисел в ряди Остроградського 2-го виду, належну увагу при цьому приділивши геометрії таких представлень, розвинути метричну та ергодичну теорії.

 

2. Ряди Остроградського 2-го виду

Означення 1. Числовий ряд виду

1      1      1                  (-1)k-i                   ^ (-1)k-i

 

 

де qk натуральні числа, причому

qk+i > qk (qk + 1) У к Є N, (4) називається рядом Остроградського 2-го виду.

Прикладами рядів Остроградського 2-го виду є такі ряди:

 

)2 - 2Гз + - 42 43 + 1806 1807 - ()
,11111         ^ (-1)k-i

 

де 2 < s Є N,m1 = 1,mk = 2mk-1 + 1;

3)   1              1             1               1                1                 1 (7)

 

,,111        1                ^ (-1)k-i

4) 2 - 7 + 59 - 3541 + ... = ЕЬ (8)

k=i k

де {pk} нескінченна послідовність простих чисел така, що

pi = 2,p2 = 7,рз = 59, ....

pk — найменше просте число таке, що pk > pk-i(pk-i 1).

Зауваження 1. Існують ряди Остроградського 1-го виду, які не є рядами Остроградського 2-го виду і навпаки.

Справді, ряд Остроградського 1-го виду

^ (-1)k-i                 1     1 1

>                = 1             1                + ...

^    к!                        2! + 3!    4! +

k=i

не є рядом Остроградського 2-го виду, оскільки не виконується умова (4).

Прикладом ряду Остроградського 2-го виду, що не є рядом Остроградського 1-го

виду, є ряд (8).

Лема 1. Ряд Остроградського 1-го виду (1) є рядом Остроградського 2-го виду (3) тоді і тільки тоді, коли для довільного к Є N виконується нерівність

qk+i > qi...qk +1. (9)

Доведення. Справді, якщо ряд Остроградського 1-го виду (1) задовольняє умо­ву (9), то він, очевидно є рядом Острградського 2-го виду згідно з означенням.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9 


Похожие статьи

I М Працьовита - Ряди остроградського 2-го виду i розподіли їх випадкових неповних сум