О В Островська - Рівняння теплопровідності для однорідного стержня з коефіцієнтом дифузії рівним одиниці - страница 1

Страницы:
1  2  3 

УДК 517.9, 519.46

О.В.Островська, канд. ф.-м. наук, Національний університет харчових технологій

І.І.Юрик, канд. ф.-м. наук. Національний університет харчових технологій РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ ДЛЯ ОДНОРІДНОГО СТЕРЖНЯ З КОЕФІЦІЄНТОМ ДИФУЗІЇ РІВНИМ ОДИНИЦІ

Робота присвячена побудові точних розв 'язків рівняння ut = uxxx. Як відомо,

це рівняння теплопровідності для однорідного стержня з коефіцієнтом дифузії рівним одиниці. Використовуючи класичний метод відокремлення змінних, тобто підстановку   u = a(x)b(t), раніше  отримані  точні розв'язки .Для

побудови нових розв 'язків в даній роботі запропоновано узагальнену процедуру відокремлення змінних. Це дало можливість отримати принципово нові точні розв 'язки цього рівняння, які неможливо отримати з використанням класичного методу С. Лі, або методу умовних симетрій.

Ключові слова: лінійне рівняння теплопровідності, точні розв'язки, узагальнене відокремлення змінних.

 

 

© О.В.Островська, І.І.Юрик, 2012

Розглянемо диференціальне рівняння з поліномінальними нелінійностями

 

Tp (u) = Xq (u), (1)

де Tp (u) многочлен степені p від функції u і її похідна по t, Xq (u)многочлен степені q від функції u і її похідних по x.

Розв'язки пропонується шукати у вигляді

k

u(x, t) = £ f (x) a (t), (2)

2=1

де f (x), аг (t) — деякі гладкі функції, які необхідно визначити. В роботах [1-3] для рівнянь нелінійної теплопровідності

ut = (uaux) - ul~a,   ut = (usux) - ul+a, (s > 0)

 

розв'язки були знайдені у вигляді u (x, t) = j(t )[y(t) + 6( x)].

 

В роботі [4] для рівняння T 1(u) = X 2(u) знайдені розв'язки у вигляді

u(x, t) = keXt ch^VIx + 5),   1> 0, u(x, t) = keXt cos(^\7k\x + 5),   1< 0,

 

при умові, що Wk = L{f1, f2,...fk},   X2(Wk) £ Wk.

В роботі [5] для нелінійних хвильових рівнянь побудовані нові точні розв'язки, використовуючи модифікований анзац (2). Обмежимось рівнянням

T 2(u) = X 2(u) (3)

 

n n

Розглянемо такі лінійні оператори /1(u) = £ 11ut2,  12(u) = £ A,2ux2,

 

it it

і білінійні симетричні оператори b (u,v) = £ xtjutivtj,   b (u,v) = £ x::u.:v.:.

2,y=0                                : ,j=0

 

де x: = (x1),   x2 = (x2) — симетричні матриці. Тоді

T 2{u) = b1(u, u) + /1(u) + 51, X 2(u) = b2(u, u) + / 2(u) + 52 де 51,52 сталі.

В результаті підстановки (2) в (3) маємо

£ (f )2 b1 (аг, аг) + 2£ ftfjb1(at, aj) +        (at) + 5 =

:=1                                 :< j :=1

 

= £(a- )2 b2 (ft,ft) +aiajb\f,ft) + ££jai/\f) + 52

 

Нехай

La = L{a1,...ak} , Lf = L{f1,...fk } ,

1    k     f        1 k

 

La ={1,{a: } ,{a:aj , 2 £ j}} ,

 

Lf={1,{f},{ff,: £ j}}

 

Нехай функції 1,{a:^{aa,,: £ j}, 1,{ fi},{f/J.,: £ j} утворюють базиси

 

La1, Lf1 , відповідно. Розкладемо по базису коефіцієнти b1, /1 :

k k
b\a, a.) = £ (a)2 B    +aaB    + £ a B   + B..0
p=1                                               p<q p=1

kk

kk

/1(a.) = £ (a)2 L   + aaL   + £ a L   + L0

:                        :,                      q   :, q             :, :,0

=1                         <q =1

 

B і L треба знайти.

В результаті отримаємо рівність:

p=1          ^ :=1                         :<j                      :=1 J

Vq            ( f )2 B»,pq + 2£f.fjB:j,pq + ^ L,pp +

+£tfApq I + tap  (f )2 Bihp + 2 £ f fjBj,p + ££jfLhp \ +

:=1           J      p=1        [ :=1              :< j                    :=1 J

 

+£ (f )2B::,0 +ffjBj,0 +^f L,0 + 51 =

:=1                     :<j :=1

 

£ ( ap )2 b2 ( fp V fp ) + 2£ ara,b ( fp V fq ) + £                      2( fp ) +52.

p=1                                   p<q p=1

Розклад по базису в L1a однозначний. Тому { f (x)} повинні задовольняти системі.

k

fp , fp ) = £ ( f )2 B::, pq +ffjBj, pq + £ fL, pq ,       (p £ q)

=1                          < j =1

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

О В Островська - Рівняння теплопровідності для однорідного стержня з коефіцієнтом дифузії рівним одиниці