Автор неизвестен - Сингулярный интеграл с ядром Коши на всей оси - страница 1

Страницы:
1  2 

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

 

 

П1. Сингулярный интеграл с ядром Коши на всей оси.

 

 

 

П1.1. Определение. Пусть функция F(x), x є R локально гельдеро-

ва\_F(x) є CN, N], 0 <а< і ДЛЯ любого N > °.

Тогда (см. пункт 2.3) для любых и N > ° существует интеграл в смысле главного значения по Коши

 

N

j


F(x)dx


lim 1


N

 

J    x -       J    x -

-N                °     °

 

Пусть, далее, существует предел

N F (x)dx lim   I ———,

-N °

тогда этот предел мы называем сингулярным интегралом с ядром Коши на всей оси и пишем

N

j ^хрх ^              j (п1л)

x -     N-o      x -

-o -N

В частности, если f(x) = і, имеем

o

. ° (П1.2)

J x -

-oo

С другой стороны, легко видеть, что введенный нами интеграл (1) можно записать и в таком виде

cF (x)dx    cF ( + x) - F ( - x)

x

dx (П1.3)

-oo            ° °

Представлением (3) удобно пользоваться при вычислении сингулярных интегралов с ядром Коши на всей оси, к чему мы и переходим.

 

 

 

П1.2.   Спектральные   соотношения.   Пусть   теперь   в (3)

f(x) = eihx,    °. Тогда

o0 iA( + x) - є_іЛ( -x)

 

sin Ax

dx

 

°r ei2x e
I ----- dx = I

x- x

x -

 

x

x

o

dx

° °

и, используя известный интеграл Дирихле (см., например, Зорич В.А. Математический анализ: Учебник. Ч.ІІ. - М.: Наука,1984.-640 с. стр. 419),

7dx = М.£, Лєr\{°},

 

окончательно получаем

 

1  °°   eiAx                 ІЛ

Л

- I ------ dx = ^eiAx°

7 J   x -


(Пі.4)

 

Л є R, Л ф °

 

Далее, отделяя вещественную и мнимую части, находим

 

і  г cosЛx ,       . .
I ----- dx = - sin Лxo

71 J   x -


(П1.5)

 

 

 


 

і  г sin Лx 1

I ----- dx = cos Лxo

7     x-


(П1.6)

 

Л > °

 

 

 

П1.3. Связь с интегралом с ядром Гильберта для периодиче­ских функций.

Пусть функция f(x), xєR удовлетворяет условиям пункта Пі.і и, кроме того, является 27 -периодической

F (x + 2тг) = F (x) .

Тогда при натуральном n

f F(x)dx = lim У f F(xx)dx = lim У f F(x)dx = lim f F(x)j^- + J   x-x°     n—№,_       J      x-x°     n—o^_    J (x-x°) + 2nk    n—o J        I x-

-o                                    k=-n -7+2nk                                      k=-n                                                     -7 y


 

 

 

і

F ( x)dx

ж J   x - x °


2

 I F (x)ctg-------- ° dx

J


(П1.7)

 

F ( x + 2ж) = F (x)

 

i\Aeinx°

 

Замечание. Полагая в (7) f(x) = einx, n є z \ {°} и используя (4) при л = n, получаем еще одно доказательство спектрального со­отношения для оператора Гильберта (формула (2.2°)):

dx

n

2ж її _L j einxctg— x°

 

 

 

П1.4. Выражение интеграла с ядром Коши на всей оси через интеграл с ядром Гильберта

Пусть функция f(x), x є R удовлетворяет условиям пункта Пі.і. Сделаем в интеграле (1) замену переменных

 

x = tgф, F(x) = u(ф),-ж<ф<ж;


tg,-ж<ф° <L.



Имеем

 

 

 

7


oo

I


F(x)dx x -


 

27


ж

 


і+tg


2 ф

2


-dp =

 

 

 

 

 

27


j u (ф)


^+g ф g fЛ


+tg


ф


 

-dp ,

 

откуда окончательно получаем

і  г F (x)dx і

ж J   x - 2ж

-да

где


ф - ф °


dp + C,


 

 

(П1.8)

 

С = T" [ u )tg? dф u (ф) = F(tg"T)

2ж                       2 2

 

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа