А В Лемешко - Системологические основания тензорного анализа сетей связи - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 621.391

СИСТЕМОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА СЕТЕЙ СВЯЗИ

ЛЕМЕШКО А.В. (Телекоммуникации)

 

Трактовка телекоммуникационной системы (ТКС) как сложной организационно-технической системы открывает дополнительные возможности по совершенствованию про­цессов ее анализа и синтеза. Эффективным инструментари­ем системного исследования ТКС представляется матема­тический аппарат тензорного анализа сетей. Координатное описание системы телекоммуникаций, представленное в виде соответствующих тензорных моделей, за счет обеспе­чения многоаспектного рассмотрения ТКС позволило полу­чить эффективные решения ряда важных расчетных задач.

 

1. Введение

Анализ тенденций современного развития систем телекоммуникаций свидетельствует о значительном росте интереса у операторов связи и разработчиков связного оборудования к реализации системных ре­шений, нацеленных на более полное и эффективное использование имеющихся сетевых ресурсов. Под­тверждением тому, например, может служить разра­ботка и принятие концепций Traffic Engineering over MPLS, подробно освещенной в информационном RFC 2702 ^Requirements for Traffic Engineering Over MPLS», а также правил системной политики PBNM (Policy-Based Network Management), терминология которых подробно изложена в документе RFC 3198 ^Terminology for Policy-Based Network Management)), разработанного комитетом IETF. Логично предполо­жить, что в качестве первоочередных шагов в этом направлении станут попытки подведения под эти на­чинания содержательной научной основы.

Подобные тенденции предопределили необходи­мость совершенствования (модернизации) телеком­муникационных систем на новых технологических и, что не менее важно, методологических принципах, базирующихся на использовании адекватно описы­вающих ТКС формализмах, а также высокоэффектив­ных методах расчета основных количественных и ка­чественных показателей систем телекоммуникаций.

Как при решении проблем теоретического обосно­вания, так и практической реализации требований к ТКС, имеет смысл воспользоваться результатами раз­работанной и хорошо развитой общей теории систем, а сам процесс исследования организовать в рамках системного подхода. В основе системного подхода лежит стремление установить общую ориентацию исследований и зафиксировать научными средствами целостность исследуемого объекта с учетом всего разнообразия существующих в нем связей и связей с внешней средой. Теория систем предлагает единый абстрактно-математический аппарат для представле­ния и исследования систем самых различных типов, классов и назначения - технических, экономических, биологических и т.д. [1,2].

В этой связи ТКС может трактоваться как сложная организационно-техническая система. К числу основ­ных факторов сложности ТКС (рис.1) следует отнести ее многоапектность, высокую размерность системы в целом и разнородность ее отдельных элементов и подсистем, динамический характер функционирова­ния, стохастичность протекающих в ТКС процессов информационного обмена, мультисервисность, взаи­модействие ТКС с другими сложными системами -информационно-аналитическими системами, автома­тизированными системами управления и др., а также наличие влияния внешних, зачастую дестабилизи­рующих, факторов.

 

 

Факторы сложности телекоммуникационной системы

 

 

 

 

 

  

Многоаспектность

-

-

Высокая размерность

  

 

 

Разнородность элементов и подсистем 

 

Динамический характер функционирования

  

 

 

Стохастичность процессов информационного обмена 

 

Мультисервисность

  

 

 

Взаимодествие с другими сложными системами 

 

Наличие влияния внешних факторов

 

Рис.1. Факторы сложности телекоммуникационной системы

 

2. Основная часть

Анализ особенностей общих систем позволил сде­лать вывод о том, что их разнообразие может быть адекватно охвачено конечным числом классов (типов) систем, которые, в свою очередь, определяют классы (типы) системных задач. Последовательность этапов решения задач анализа (синтеза) сложных систем в рамках системного подхода условно можно предста­вить в виде соответствующей схемы (рис.2) [1].

В соответствии со схемой (рис.2) исследователь, путем выделения тех или иных системных аспектов сводит решение поставленной ему прикладной задачи к решению конкретной системной задачи. На этапе абстрагирования конкретная системная задача клас­сифицируется и принимает вид общесистемной зада­чи, для решения которой применяются имеющиеся в распоряжении методы традиционной науки. Полу­ченной решение общесистемной задачи на этапе ин­терпретации принимает вид решения конкретной сис­темной задачи. Последнее же, в свою очередь, путемпредметной экспертизы определяет окончательное решение поставленной перед исследователем при­кладной задачи.

Наличие общей схемы, однако, еще не определяет конкретных методов решения задач в рамках систем­ного подхода. Для реализации процедур абстрагиро­вания и интерпретации в настоящее время единого подхода пока не выработано. Немаловажную роль также играет класс системной задачи, определяющий набор традиционных методов ее решения. В системах телекоммуникаций встречаются все три класса задач [1]: задачи организованной простоты - задачи с ма­лым количеством переменных, высокой степенью детерминизма, решение которых допускается в анали­тической форме; задачи неорганизованной сложности - задачи с больших числом переменных случайных по своему характеру проявления, для решения которых используются статистические методы; задачи органи­зованной сложности, для решения которых пока не существует приемлемых ни аналитических, ни стати­стических методов решения. Первые два класса задач являются взаимодополняющими, определяя две про­тивоположные крайности в спектре сложностей задач и, несмотря на взаимодополняемость и достаточно высокую проработанность их решений, покрывают небольшую часть всего спектра системных задач. По этой причине актуальной становится задача поиска эффективных методов решения системных задач из категории организованной сложности, пути решения которых проработаны не так хорошо, как для первых двух классов задач.

 

 

 

выделение системных аспектов

Прикладная задача

предметная экспертиза

 

 

 

Конкретная
системная
задача
                   •—

Методы системного анализа и синтеза

Решение конкретной системной задачи

 

 

 

абстрагирование

 

Общесистемная задача


Традиционные методы науки


интерпретация

 

Решение общесистемной задачи

 

 

 

Рис.2. Схема решения задач анализа (синтеза) сложных систем в рамках системного подхода

 

Закономерно предположить, что при решении ряда задач организованной сложности трудность получе­ния окончательных результатов может быть привне­сена неудачным или, в общем случае, случайным вы­бором аспекта (координатной системы) рассмотрения исследуемого объекта (системы). Закономерно пред­положить, что существует такая точка зрения на по­ставленную проблему (задачу) или такой аспект рас­смотрения исследуемой системы, в рамках которых искомые решения можно найти с минимальными трудностями. В этой связи многоаспектное рассмот­рение исследуемой системы и информированность о правилах координатного преобразования открывают дополнительные перспективы в решении задач орга­низованной сложности.

В рамках многоаспектного рассмотрения матема­тически точно описать телекоммуникационную сис­тему как целостный объект, базируясь на том, что теория исследования ТКС должна быть инвариантна относительно способа описания его внутренней структуры, возможно лишь с помощью некоторого каркаса, который разрешит стыковать модели, полу­ченные при рассмотрении разных аспектов одной системы, объединяя различные ее представления [3]. В связи с этим особую актуальность приобретают исследования американского ученого Г. Крона и его разработки в области тензорного анализа и диакопти-ки, базирующиеся на использовании инвариантных величин - тензоров, которые, в свою очередь, подоб­но каркасу связывают преобразование структуры сложных систем [4,5]. Технология тензорного реше­ния задач анализа (синтеза) сложных систем (рис. 3) состоит в следующем:

1.     Выделение некоторой совокупности систем в один класс по аналогии протекающих в них процес­сов и структурных отношений.

2.     Выбор среди этих систем одной в качестве эта­лонной, для которой разработан тензорный метод расчета, объединяющий структурные и метрические соотношения, т.е. структуру и протекающие в ней процессы.

3.     Инвариантное представление основных свойств и характеристик моделируемой системы.

4.     Определение правил приведения математиче­ской модели системы к тензорному виду.

5.     Формулирование (расчет) групп прямого и об­ратного преобразования и построение эквивалентной модели системы.

Одной из основных задач анализа ТКС в рамках тензорного подхода является нахождение таких инва­риантных характеристик, которые являются общими для всех систем данного класса, то есть которые не изменяются при переходе от одного представления системы к другому. К таким инвариантам в зависимо­сти от требований, выдвигаемых к ТКС, могут быть отнесены трафик, структура системы и прочие вели­чины. На основании известных инвариантных харак­теристик и правил преобразования исследование лю­бой системы из данного класса будет сводиться к ис­следованию одного произвольного ее представления с последующим переходом от данного произвольного к исходному представлению системы. Это открывает возможности изучения всего класса систем на приме­ре одной произвольно выбранной системы [6]. По­этому тензорная методология анализа телекоммуни­кационных систем и связанная с ней диакоптика раз­решают получить единый подход к исследованию ТКС как сложной организационно-технической сис­темы. Возможность совместного исследования струк­туры телекоммуникационной системы и протекаю­щих в ней процессов представляется главным пре­имуществом тензорной методологии исследований, основанной на объединении возможностей диффе­ренциальной геометрии с возможностями комбина­торной топологии. Наряду с анализом функциональ­ных уравнений системы, в рамках ее тензорного пред­ставления графо-топологическое описание является дополнительным источником информации для эффек­тивного составления и решения подобных уравнений.

 

 

 

выявление структурных и функциональных аналогий

Прикладная задача

предметная экспертиза

 

 

 

Эквивалентная задача

Методы тензорного анализа и синтеза

Решение эквивалентной задачи

 

 

 

Прямая интерпретация

Традицио нные методы науки

Обратная интерпретация

 

Примитивная задача


Решение примитивной задачи

 

 

 

 

Рис.3. Схема решения задач анализа (синтеза) сложных систем в рамках тензорного подхода

 

Для практической демонстрации возможности и целесообразности реализации тензорного подхода при решении конкретных системных задач анализа (син­теза) ТКС приведем несложный пример. Как показал проведенный анализ, в соответствии с тензорным подходом (рис.3) решение ряда важных задач по рас­чету сетей связи может быть проведено в рамках их электротехнической интерпретации [7]. В этом случае для ТКС в качестве эквивалентной системы выступа­ла электрическая сеть, для расчета которой разрабо­таны эффективные модели и методы тензорного ана­лиза [4,5]. Несмотря на то, что система телекоммуни­каций, несомненно, имеет более сложную морфоло­гическую и функциональную «конструкцию», чем электрическая сеть, некоторые двухполюсные сетевые задачи допускают адекватную формализацию в рам­ках электротехнических терминов и понятий.

Подобный выбор эквивалентной модели определя­ет двойственность следующих телекоммуникацион­ных и электротехнических понятий: тракт передачи информации - ветвь; информационная нагрузка в тракте - ток в ветви; временная задержка передачи -напряжение; пропускная способность тракта - прово­димость и др.

В отличие от однородного непрерывного про­странства, как при расчете электрической сети, так при расчете сети связи следует рассматривать анизо­тропное пространство-стуктуру, определяемое соста­вом и взаимосвязями элементов системы. Размерность такого пространства численно равна количеству вет­вей, а переходя от сетевой терминологии к телеком­муникационной - числу отдельных трактов передачи информации в ТКС. Системы координат образуются совокупностью независимых замкнутых и разомкну­тых путей, проходящих по ветвям сети [4,7]. Преобра­зование системы координат трактуется как преобра­зование структуры сети с сохранением начального числа ветвей или переход от одной совокупности не­зависимых путей к другой, причем, каждый путь вви­ду своей независимости определяет в рамках подоб­ного пространства координатную ось.

Пусть изначально анализируемая сеть состоит из n несвязанных между собой ветвей, определяя тем самым размерность вводимого к рассмотрению про­странства-структуры. Базис пространства, образован­ного независимыми разомкнутыми путями, обозна­чим как р;,і = Ln . В этом пространстве сеть как гео­метрический объект может быть представлена как одновалентными тензорами, так и тензорами более высокой валентности [7]. Примером одновалентных тензоров могут служить контравариантный вектор

нагрузок Н = h'p; и ковариантный вектор временных задержек Т = t;Pi, которые представляются в базисе

Pi, і = 1, п в виде, соответствующем принятому в тен­зорном исчислении соглашению о суммировании [8].

Компонента тензора нагрузок h1 отражает величину нагрузки в i -й ветви, измеряемую в битах. Компо­нента тензора задержек ti характеризует величину

временной задержки передачи информации 1 -й в вет­ви, измеряемую в секундах. Координаты двухвалент­ного смешанного тензора M в том же базисе имеют

вид rrij =h'tj, где i,j = l,n .

Сеть, состоящую из n несвязанных между собой ветвей, целесообразно выбрать в качестве примитив­ной сети, т.к. в ней расчет искомых величин компо­нент векторов нагрузок и задержек не представляет особого труда.

Пусть из раздельных ветвей вышерассмотренной сети образована сеть связанной структуры. Изменение структуры соответственно влечет и модификацию базиса пространства, образованного теперь независи­мыми разомкнутыми и замкнутыми путями p;,i = 1,п . Компоненты рассматриваемых тензоров в новой сис­теме координат соответственно будут иметь вид h1, tj' и rrij., i,j = l,n. В соответствии с правилами ал­гебраического сложения путей [4,6] базисные пути различных координатных систем рассмотрения сети как геометрического объекта связаны между собой соотношением

Pi=af'pk. (1)

Тогда при смене координатной системы рассмот­рения сети компоненты ранее введенных одновалент­ных и двухвалентных тензоров будут преобразовы­ваться следующим образом

гИ=фпк'; ti=af'tk,; m'=cj.ajm': , (2)

k' 1

где величины ai и являются компонентами тен­зоров прямого и обратного преобразования, представ­ленные соответственно матрицами A и C размерно­сти п х п. Матрицы А и С, в свою очередь, связанны между собой следующим условием:

А*С = 1,

где t - символ транспонирования, а I - единичная матрица размерности пхп.

Известно, что в сетях связи компоненты тензоров нагрузок и временных задержек связаны между собой следующими соотношениями:

hj = l\; (3)

 

ti =rjihj  <j = U_, (4)

где параметры l1J характеризуют величины пропуск­ных способностей ветвей сети, измеряемые в битах за секунду, а параметры rji - отражают значения вели­чин, обратных к l1j. Эти же параметры являются ком­понентами соответственно дважды контравариантно-го метрического тензора и дважды ковариантного метрического тензора, которые представлены в базисе

Pi,i = l,n матрицами L и R размерности пхп с вы­полнением условия

LR = I.

Дважды контравариантный и ковариантный харак­тер тензоров L и R подтверждается соответствую­щими законами преобразования их компонент при смене координатных систем рассмотрения сети

iij=4c}ii,j'; (5) rji = aj al'rj'i' • (6)

В соответствии с постулатами первого и второго обобщения Г. Крона [4] с изменением структуры сети,

т.е. с переходом к новому базису p;,i = 1,п, функцио­нальные уравнения поведения сети сохраняют свою изначальную форму и размерность (3,4), принимая

вид

hj' = l^'t;.; (7)

 

t;. =rjrhj'  IJ'=U_. (8)

Тензорная формализация сети связи основана на принятии следующих инвариантов: функциональный - вид уравнения поведения системы (3,4); структур­ный - общее количество независимых разомкнутых и замкнутых путей ( n ).

Предложенное тензорное описание сети связи (1­8) может быть использовано, в частности, для реше­ния задач потокового программирования. При этом в зависимости от того, какие величины будут выбраны в качестве воздействующих (возбуждающих), а какие величинами отклика изменяется специфика постанов­ки и решения задачи по расчету сети связи.

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

А В Лемешко - Адаптивное ограничение интенсивности трафика на приграничных узлах мультисервисной сети связивведение

А В Лемешко - Математическая модель динамического управления канальным и буферным ресурсом на узлах телекоммуникационной сети

А В Лемешко - Системологические основания тензорного анализа сетей связи

А В Лемешко - Системологические основания тензорного анализа сетей связи

А В Лемешко - Результаты исследования модели управления трафиком с учётом задаваемыхприоритетов