Я Єлейко - Ймовірність банкрутства страхової компанії в моделі зі скінченним проміжком часу та стохастичноюставкою відсотка - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ Серія прикл. матем. інформ. 2009. Віт. 15. C. 224-233

VISNYKLVIV UNIV. Ser. Appl. Math. Inform. 2009. Is. 15. P. 224-233

УДК 519.212

ЙМОВІРНІСТЬ БАНКРУТСТВА СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ В МОДЕЛІ ЗІ СКІНЧЕННИМ ПРОМІЖКОМ ЧАСУ ТА СТОХАСТИЧНОЮ

СТАВКОЮ ВІДСОТКА

Я. Єлейко, Ю. Бебич, І. Базилевич

Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: yura_bebych@yahoo.com

Розглянуто процес ризику для страхової компанії.Виведено систему інтегро-диференційних рівнянь для умовного розподілу величини накопиченого капіталу,що допомагає розробити алгоритм для наближеного знаходження ймовірності банкрутства на скінченному проміжку часу.

Ключові слова: інтенсивність відсотка, ймовірність банкрутства, умовна ймовірність, випадковий процес, щільність.

1. ВСТУП

Інтенсивність відсотка в момент часу t позначимо S(t). В моделі, що розглядається, S(t), t є [0, °о) - марковський стрибкоподібний процес зі скінченною множиною станів Sj, j є D. Розглядається страхова компанія, яка запроваджує свою діяльність на ринку з такою ставкою. Припустимо, що компанія отримує внески з постійною інтенсивністю c, а в моменти часу {Tj} j 1 сплачує страхові виплати.

Припускаємо, що розміри виплат \y. }    взаємно незалежні, однаково розподілені зі

і j j j

щільністю розподілу fY (t) та незалежні від процесу надходження позовів Nt, який ми вважаємо пуассонівським процесом з інтенсивністю у. Нехай у момент часу t = 0 початковий капітал компанії становить u, а інтенсивність відсотка має значення

S(0) = s .

Позначимо накопичення одиниці капіталу з моменту t за проміжок часу At через Et At. Випадкова величина Et At виражається через випадкову інтенсивність

відсотка так:

{rt+At Jt   S(s)ds}. (1)

Позначимо накопичення на момент часу t + At потоку премій, які входять до компанії протягом проміжку часу [t; t + At], через It At. Величину накопичення

Nt + j -ї виплати на момент часу t + At через Yj,At( j =1, Nt+At - Nt). Також позначимо накопичення всіх виплат на проміжку [t; t + At] як St At. Легко бачити, що правильні такі рівності:

© Єлейко Я., Бабич Ю., Базилевич L, 2009

Г+at E,^-,ds, (2)

yt,At _ у       E j л м _N

j N + j'   TNt+j ,t+At _T„t+j ' J — *■>1 v t+at lyt

s,,At I yf

j—1

Позначимо капітал страхової компанії в момент часу t за умови, що S(0) Sk та S(t) Sm , а капітал в момент 0 становив u , через zt (u,k, m). У позначеннях (2) справджується таке зображення zt (u, k, m):

z, (u, k, m) (uEo,t + /o,t _ So,t |^(0) — Sk ,S(t) 8n )■ (3) Нас цікавить ймовірність банкрутства компанії на скінченному проміжку часу [0,t0 ] в залежності від початкового капіталу та інтенсивності відсотка, тобто така :

y/(u,k, t0)P{Vt є[0,t0] zt(u,k, ) > 0} . (4)

,

ймовірності, ми маємо спочатку знайти розподіл величини zt (u,k, m). Для цього

, ■ 2. ОСНОВНЕ СПІВВІДНОШЕННЯ

z (u,k,m),

співвідношення :

z,+at (U, k, m) (u + [1]0t+at _ S0,t+at И0) Sk ,

S(t + At) Sm) (uE0J E,+ /0,t E,,a, + I,,a, _ S0,t E,_ (5) _S,,a,|S(0) Sk,S(t + At) Sm) (EtAt ■[uE0J + і0,, _S0J] + I,,a, _S,,a,|S(0) Sk,

S(t + At) Sm )■

(5) : G(t + At,y;u, k, m) P{z++at (u,k,m) < y \S(0) Sk, S(t + At) Sm}

Z P{z,+A,(u, k, m) < y |S(0) Sk, S(t) Sj, S(t + At) Sm}■ (6)

■P{S(t) Sj |S(0) Sk,S(t + At) Sm} — — X P {z, (u, k, j) < (Et At )_л [y _ I,,a, + S,,a^

\S(0) Sk,S(t) Sj,S(t + At) Sm} P{S(t) Sj |S(0) Sk,S(t + At) Sm}

Розглянемо величини вигляду P{S(t) Sj |S(0) Sk,S(t + At) — Sm} як функції

At At —0

■ , t0 +1 (t0 > 0, t > 0) інтенсивність відсотка має значення Sj за у мови, що в момент часу

t0 інтенсивність відсотка мала значення S Очевидно, такі ймовірності не залежать

Єлейко, КХ Бебич, L Базилевич

від t0, тому ми будемо позначати їх Ми знайдемо ці ймовірності через диференційне рівняння Колмогорова

dt

-(n _ Y)AP0t + A£ P0t

і * j

Розглянемо два випадки (1) i j

dP 0t

dt

-(n _ 1)AP°' + A£ P

Враховуючи, що ^^.P^' — 1 _P*0', отримаємо лінійне рівняння dt

■in _ 1)Ay + A(1 _ y)■

(7)

(8)

(9)

Його розв'язком є функція   y —(I + (n _ 1)e nA') ■

n

(2) i * j

Враховуючи симетрію та результати першого випадку, отримаємо

1 _ P0

Страницы:
1  2  3  4  5 


Похожие статьи

Я Єлейко - Ймовірність банкрутства страхової компанії в моделі зі скінченним проміжком часу та стохастичноюставкою відсотка

Я Єлейко - Універсальні формули для системи обслуговування з блокуванням вхідного потоку