П Е Левин - К вопросу о классах единственности решения задачи коши для общих линейных уравнений в частных производных - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Выпуск 10

1970

К ВОПРОСУ О КЛАССАХ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЩИХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

П. Е. Левин

Рассматриваются классы единственности и неединственности решений нормального типа по t задачи Коши:

P(DX, Dt)u(x, t) = 0, (1) £>*ц (я, 0) = 0,   k = 0, l,...m 1, t >0, оо <х< со, (2)

т

где Р (sX) = £Pfc(s) Xftмногочлен с постоянными коэффициентами

ft=0

порядка N по s и т по X; Рт (s) ф 0.

В [1] проведена классификация уравнений вида (1) и получены усло­вия того, что решение и (х, t) задачи (1)(2), удовлетворяющее оценке

\Dkxu(x, t)\<Cexp{$t}G(x), (3) k = 0, 1,... N — 1; со < х < + со; t > 0; j3 > 0,

есть тождественный нуль. Однако для некоторых уравнений вида (1) полученные в [1] условия оставляют «зазор» между классами единствен­ности и неединственности решения задачи Коши. Целью настоящей статьл является ликвидация этого пробела. Пусть

sk (к) = £ а*/Хт*/ = а*0Хт*° (1 + о (1)),

k = I.....N; Tft0 >т*і > ••• >7*/ > —; «(І)        | Х| со

разложение корней полинома Р (s, X) в окрестности бесконечно удален­ной точки [2]. Мы будем рассматривать те уравнения, для которых выпол­нены условия

Рт (s) ф const, Рт (0) ф 0,   min |Reafe0| =а>0. (4)

Преобразование Лапласа по t нашего решения является аналитической в некоторой правой полуплоскости функцией у(х, X), удовлетворяющей в силу (1)(2) уравнению

P(DX, \)у(х, \)=0 (5)

к в силу (3) —оценке

\Dkxy(x, X)|<CiG(x), (6) k = 0, 1,... ЛГ — 1; оо <x< -f- со; ReX>eo>0.

Из теоремы единственности преобразования Лапласа следует, что задача (1) (2) в классе (3) имеет нетривиальное решение и(х, t) тогда и толькотогда, когда уравнение (5) имеет в классе (б) нетривиальное решение у (х, X). Функции yk(x, X) = Qk(x)exp {sk(X)x}, где Qk (х) полиномы, степень которых меньше кратности корня sk (X) образуют ;фундаменталь-ную систему решений уравнения (5) и значит,;

N

у(х, \) = £ Ck{X)yk(x, X). (7)

k=i

Дифференцируя (7) N — 1 раз по х, мы получаем систему уравнений для определения СЙ(Х), используя (6) и вид функций yk{x, X), получаем, как и в [1], оценку:

|СЙ(Х)|<С1ХГ.(1 +l*t)M'G(x)exp{-Resft(>0*}, (8) k= \,...N; Мг>0, Af2>0; со <x<oo; ReX>a0.

Для тех корней Sft(X) полинома Р (s, X), у которых тао =0, |ReaA0| = a, вводим следующие величины:

5 = max ffei; gk (X) = sign Reaft0 Re [sk (X) —akQ], (9)

As: = {X     (X) > 0};   <p0 = sign ReaM. Возможны три случая:

I. 8<0; для всех gk (X) справедливо supReX= со.

leDk

П. 8 < 0; существует k, такое что gk (X) < 0, Re X > a0 > 0. III. 8 = 0; что соответствует наличию корня

s*(X) =аы, |Reaft0| =a.

Каждое рассматриваемое уравнение (1) относится к одному (и только к одному) из этих типов.

Теорема 1. Для единственности решения задачи Коши в случае I в классе:

\Dkxu(x, t)\<Сехр {р/ + а|дг|} (10)

6 = 0, I....N — 1; р>0; г!>0;  со:<со

необходимо и достаточно, чтобы a < a.

Доказательство. Пусть a<a. Используя (8) и (10), получаем

|С*(Х)|<С|Х|"<(1 +U|)M«exp{—Resfe(Mx + aU|}. (8')

Выбрав sign л: = sign Res* (X), используя (4), в случаях, когда либо jko > >0, либо уА0 = 0, |Rea&ol>#, получим в достаточно далекой правой полуплоскости (за исключением, быть может, конечного числа как угодно узких секторов) оценку: | Res* (X) | > а -Ь є, где е > 0, т. е.

|С*(Х)|<С|Х|«.(1+|дг|)А*.ехр{—е|*|}

(в силу a <a). Устремив \х \ -> со, получаем, что С* (X) =0. Пусть -j-fto = = 0, | Rea/eo | = а. Возьмем sign* = sign Rea^o (в достаточно далекой пра­вой полуплоскости sign Res* (X) = sign Rea&o). Тогда получим

|C*(X)|<C|X|<M.(l+U|)M.exp{-|Res*(X) \\х\ + *\х\) <

<С\Цмг (I + \х\)м*ехр {-\a+gk(\)\\x\ + *\х\} <С|Х|М.(1 +

+ I*I)"'exp{-ft (*)*}•

Отсюда, устремив |х\ -> оэ, получим при X Dk Ck (X) = 0. Но Dk в силу непрерывности gk (X) и предположения 1 имеет конечную точку сгущения в  любой  как угодно далекой  правой  полуплоскости, следовательно,

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

П Е Левин - К вопросу о классах единственности решения задачи коши для общих линейных уравнений в частных производных