В П Петренка - К вопросу о структуре множества положительных отклонений мероморфнмх функций - страница 1

Страницы:
1  2  3 

К ВОПРОСУ О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ МЕРОМОРФНМх ФУНКЦИЙ

В. П. Петренка

1. Положим для мероморфной при \z\<R функции f{z) ln+ М (г, a, f) = ln+ max г-г—|--., а ф со, In"[1]- Mir, со, f) = ln+ max | f (г) I

I 2 I =r і ' W ~ a I I г [ = r

При a>0 (r<F>).

' V   " Г (г, л

Напомним, что величины At (a, /) = A (a, /) называются величинами де­фектов f (г) в смысле Ж. Валирона, а величины ^ (а, /) = 3 (а, /) величи­нами отклонений мероморфных функций [1, 2]. Если для некоторого а Р(а, /) > 0, то мы говорим, что /(z) имеет положительное отклонение от а (см. [2]).

Положим далее

A0(aJ) = hmo^-J, p„(a,fl = lim 1пГ(Г;/)-;,

V°(f) = {a:A»(aJ)>Q},

(f) = [a : pa (a, f) > ()}.

Множество Q<a4.f) назовем [3—5] множестве^ положительных отклоне­ний мероморфной функции f(z). Положим далее лря k>0

if[2] (/) =:Д0 ([3]./)>[4]}, 9Г(/) = {а:р„ (a,/)>[5]},

Of]/) = {a:p0(a, /)>£}.

Из результатов работ [6, 7] следует, что Множество V<a> (/) при a > О всегда является исключительным множеством в гом смысле, что подавляю­щее большинство точек не принадлежит множесТВу ">(/).

Действительно, им^ют место следующие утверждения [6, 7].

Теорема А. Для произвольной мероморфной npU \z\<R функции f (г)

а) при а > 0,5 множество

У(«)(/)

имеет внутреннюю логарифмическую емкость Нуль;

б) при любом а, 0 < а < 2, множество

имеет нулевую хаусдорфову[6] меру размерности а.

Следствие. Для произвольной мероморфной при \z\<R функции f(z) множество

И0)(/)

имеет линейную меру нуль.

Структура множества положительных отклонений Q'a) (/) характери­зуется следующей теоремой [4, 5].

Теорема Б. 1) Если f(z)мероморфная при г Ф со функция, тогда при а > 0,5 множество

Q<«>(/)

имеет внутреннюю логарифмическую емкость нуль.

2) Если / (г) мероморфная при \z\<R и имеет нижний порядок[7] з

X, то при а > 0,5 + у множество

Q<«) (/) (\ > 0)

также имеет внутреннюю логарифмическую емкость нуль.

В приведенных теоремах структура множеств (/), Q<a> (/), > 0), Vf* {f) зависит соответственно от а. и k. Проверка точности такой зависи­мости раскрывает глубокие асимптотические свойства мероморфных функций и поэтому имеет принципиальное значение для теории мероморфных функций.

Эта работа посвящена в основном изучению структуры множества

для мероморфных при z ф со функций конечного порядка. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Для любого р, 0 < р < оо существует мероморфная при гф со функция   f (z) порядка р, для которой линейная мера множества

Жф

положительная.

Теорема 2. Для любого р, 0 < р < со существует мероморфная при гфса функция f(z) порядка р и множество Gco, имеющее положитель­ную меру Хаусдорфа размерности

для которой

і

°« = T5gT3<1' G,cQg(/)'

2. Доказательство теорем 1 и 2 проводится с помощью некоторой мо­дификации примеров типа примеров А. А. Гольдберга (см. [3, 9—11] и др.). Докажем теорему 1.

Как известно, каждое действительное число а из промежутка (1, 2) может быть единственным образом представлено в виде

(2-і)где ak (а) последовательность, состоящая из 0 и 1, причем в 1 встреча' ется бесконечное число раз. Для каждого натурального числа

■л= 2 ak • 2*-'К = 0,1) (2.2)

опоеделим

<?(")

(2.3)

Таким образом, между множеством целых неотрицательных чисел и мно­жеством {Ьп} устанавливается взаимно-однозначное соответствие (b0 ~ 1). Положим теперь [9, стр. 150]

СП = Г1п = „ 1п2(1 +п) ,«==1,2,...,

% = %> ф„ = ^ 2 ^, « = 1,2.....

v=o (2.4)

<р0 = 0, К± =2«!п2(1 -М)'

= 2 сл. 5а = 2 сп,

где      — последовательность, определенная соотношением (2.3). Пусть далее

со

2 Cnbnexp(ze-*n)t g2 (z) = 2 С„ ехр (ге-'»»),

f ® = (2-5]

/(z)— мероморфная при гфсо функция первого порядка. Мы имеем [9] стр. 152]

T(r,f)<2r +0(1), (2.6|

и при

largz <рп\<^-цп(\г\ = г>г0) \f(z)~bn\< СіП In2 (1 + я) ехр (-1 щ*), (2.7)

где всюду дальше буквы С с индексами означают положительные постоян­ные, зависящие лишь от рассматриваемой функции, а буквы К с индек­сами абсолютные положительные постоянные.

Выберем теперь любое а 6 [1,2]. Представление (2.1) этого числа по­рождает последовательность целых неотрицательных чисел

(а) - Ч (а); л2 (а) = аг (а) + 2а2 (а); ... п., (а) = аг (а) 4- 2а2 (а)Н----+ г^а, (а); ... (2.8)

Так как в представлении для а <х, (а) принимают 1 бесконечное число раз, то

lim п.-, (а) со.

Теперь выберем любое г [Г- < r0 < г < со) и рассмотрим следующие два воз­можных случая расположения последовательности {«, (а)}Г=ь

1. При данном г (r0< г < со) найдется хотя бы одно га» (а) такое, что.

4г~< n,(c)<f^-. (2.9)

2 In4 г w     In4 г 47

В этом случае будем оценивать величину отклонения /(г) от а при

I arg z фл,(в) | < у т\п, <„> (| z | = г). В силу (2.1) и (2.3)

0< а-&„,(в,<        ^ = ^- (2.10)

С другой стороны, в силу (2.2), (2.8) и (2.9)

і—і

j-^<«,(a)<5> = 2'-l. (2.11) Из (2.10) и (2.11) получаем

г,     ^2 In* г

Учитывая (2.4), (2.7), (2.9) и это последнее неравенство, получаем в этом случае для выбранного а и для всех г, таких что

| arg г <p„v (а) | <-J ^» ад (| г | = г),

| / (г) а | < -]~ + Q/г» (а) In2 (1 + «» (а)) ехр (— -| п«» (а)) <

<        + С2 ^ In2 (1 + г) ехр {-1- In* (1 + г)} < С3 ^.     (2.12)

Итак, в рассмотренном случае

\п+М (г, а, /) > 1 In г + 0 (In In г). (2.13)

Пусть теперь при выбранном а я г соотношение (2.9) не выполняется ни при одном га» (а) (п*(а) Ф 0).

Здесь мы должны различать два случая:

1. Имеется хотя бы одно л» (а) < у^гу (ro < г фиксировано).

Пусть

1  г1/г 1 rlli

max п., (а) = щ. (а) < у ^ п» (а) < у ^ (2.14)

и (а) первое число, определенное соотношением (2.8), большее чем /іц. (а). Очевидно, в нашем случае

«,+/(a)>jJ7. (2.15)

Будем теперь оценивать величину отклонения f (z) от числа а при

arg г ф„1А (а) | < у rtll[i (а) (| z | = г).

Мы имеем

со

0<а-Ч(а)= Т] ^<2-^ и в силу (2.8) и (2.15)

и-/

ч=1

Поэтому

0<a-bn,a)<2-^Z. (2.16)

Оценки (2.7), (2.14) и (2.16) дают

21n4r , ^     / \i„2/i   ,      /      /     2    2     \ ^ т» г

)/ (2) а \ <       + См» {a) In2(1 + % (а)) ехр ( — у      (а) 1 < С3

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

В П Петренка - К вопросу о структуре множества положительных отклонений мероморфнмх функций