О Б Панасенко - Фрактальні властивості одного класу однопараметричних неперервних недиференщйовних функцій - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5 

Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки

Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова. - 2006, № 7.— С. 160-167._____________________

 

 

Фрактальні властивості одного класу однопараметричних неперервних недиференщйовних функцій

 

О. Б. Панасенко

(Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського)

 

 

Анотація. Розглянуто клас однопараметричнихнеперервнихфункцій, кожна з якихзадається як гранична функція деякої функціональної послідовності. Дослі­джено умови ніде не диференційовності функцій з цього класу, а також деякі фра-ктальні властивості їхграфіків.

 

Abstraot. A one-parameter class of continuous functions, each of those is defined as a limit function of some functional sequence, was considered. The conditions of nowhere differentiability and also some fractal properties of their graphs are investigated in this article.

 

1. Вступ

Післятого, як в 1872 році Карл Вейєрштрасс представив Берлінській академії наук приклад неперервної ніде не диференційовної функції, багато математиків зо­середили свою увагу на пошуку нових неперервних функцій, які ніде не мають похі­дної. На сьогоднішній день відомо чимало прикладів неперервних недиференційовних функцій [1, 2], зокрема функції Такаґі, ван дер Вардена, а також їхні узагальнення [3, 4]. Засоби теорії фракталів, що розвиваєтьсяшвидкими темпами, дають певний інструментарій длядослідженнялокальних властивостей таких функцій.

Об'єктом дослідженняв даній роботі є клас однопараметричних неперервних функцій, який будується в наступний спосіб [5]. Передусім зафіксуємо параметр a Є (0,1). На відрізку [0,1] означимо наступним чином по індукції послідовність непе­рервних числових функцій (/n(x)). Нехай f0(x)= x, а длябудь-якого натурального n

Ik   k + 11

функція fn(x) є лінійною на кожному з відрізків виду  —;---------    , k = 0,1,...,3n 1,

|_3n    3n J

причому мають місце рівності: ©   О. Б. Панасенко, 2006

k +1 k

k

*  fn+^-^+TJ = /n(^+(1 a)\ fn

  /n+i[ k+^j = /Jk^ ),   для k = 0,1,...,3n 1.

{3k + 1\ = f fk\ +   /    fk + 1\     f (k\\

 

 

 

( зп )   /n( зп )

Нехай

Fa(x) = lim /n(x).

п—юо

Нижче ми покажемо, що Fa(x) неперервна на відрізку [0,1] функція.

(x + h,y + p)


(x + h,y + p)


(x,y) (x,y)

Рис. 1. Операціяпереходу від функції /п (ліворуч) до /п+і (праворуч) на кожному з відрізків виду [Jn; к+Р\і, k = 0,1,...,зп 1

Длядеяких конкретних a, Fa(x) набуває вигляд функцій, що вивчались раніше. Наприклад, якщо a = |,то Fa(x) це приклад ніде не диференційовної функції Перкінса (Perkins)[6]. Якщо a = 2,то Fa(x) є прикладом ніде не диференційовної функції Бурбакі [7, с. 28]. Крім Бурбакі, до аналогічного прикладу ніде не дифе­ренційовної функції дійшов Катсуура (Katsuura)[8], щоправда він використав інший підхід длязаданняцієї функції. Нехай X = [0,1] х [0,1]. Розглянемо наступні сти­скуючі відображення Ti(x): X X (i = 1, 2, 3)

Tl(x,y^={ x, f)

2 x 1+ y

T2(x,y)=

T3(x,y)=

3   ' 3

діагональ вихідного одиничного квадрата X

(2 x 1+ y \ V   3   ,   3 J (2 + x 1 + 2y\ V   3   ,    3 J

Нехай D0 = (x,x) Є X

3

Dn = |J Tt(Dn-i),n > 1.

i=1

Кожне Dn є графіком деякої неперервної функції fn(x). Гранична функція, як пока­зав Катсуура, є неперервною i нідє не диференційовною. Саме тому функцію F2/3 (x) називають ніде не диференційовною функцією Бурбакі або ж функцією Катсуури.

Відмітимо, що Fi (x) це знаменита функціяКантора. Граничні випадки пара­метра a (0 та 1) також можуть бути розглянуті, проте в обох з них функція Fa(x) не є неперервною. Зауважимо також, що Fi (x) = x.

2. Диференціальні властивості досліджуваних функцій Теорема 1. Для усіх a Є (0,1) Fa(x) є неперервною на відрізку [0,1].

k

Доведення. Перш за все відзначимо, що Fa(xo) = fn(xo ),якщо xo = для

3n

n =1, 2,...,k, k = 0,1,3n. Нехай A = max{a, |2a Очевидно, що 0 <A< 1. Зазначимо, що длядовільного n ^ 1:

Ifn(x)l ^ (3A)n

Страницы:
1  2  3  4  5 


Похожие статьи

О Б Панасенко - Фрактальні властивості одного класу однопараметричних неперервних недиференщйовних функцій