О В Котова - Фрактальність множини розв'язків одного класу рівнянь які містять функцію частоти цифр - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7 

Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки
Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова. - 2006, № 7.— С. 152-159.______________

 

УДК 519.21

Фрактальність множини розв'язків одного класу рівнянь, які містять функцію частоти цифр

 

О. В. Котова

(Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова)

 

 

Анотація. Вказано алгоритм побудови коренів рівняння v\(x)= ж,де v\{x) частота цифри 1 в трійковому розкладі числа x. Обчислено розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини коренів рівняння, які знаходяться за вказаним алгоритмом. Цим самим отримано нижню оцінку розмірності Хаусдорфа-Безиковича множини всіх розв'язків досліджуваного рівняння.

 

Abstract. The algorithm of construction of the roots of the equation vi(x)= x is given, here v1(x) is the frequency of the digit 1 in a triadic decomposition of x. The Hausdorff-Besicovitch dimension of the set of the roots of this equation is obtained, the roots are calculated in accordance with this algorithm. This means that the lowest estimation of the Hausdorff-Besicovitch dimension of the set of all decisions of the given equation is obtained.

Нехай 0,cic2 ...Cm... формальний (символічний) запис деякого числа x Є [0; 1] в трійковій системі числення, Ci = Ci (x) Є{0,1, 2}, тобто

ос

X = 0,CiC2 ...Cm ... = ^2l?)~mCm. (1)

Добре відомо, що кожне ірраціональне x має єдиний розклад (1), а деякі раціо­нальні числа мають їх два (такі називаються трійково-раціональними).

Справді 0,Ci ...Cm-lCm00 ... 0 ... = 0,Ci ...Cm-l(Cm ~ 1)22 ... 2            Cm = 0.

Нехай Ni (x, n) = # {k : Ck (x) = i,k < n} — це кількість цифр „і" в трійковому

Ni (x, n)

розкладі числа х до n-го місця включно, i = 0,1, 2. Якщо існує границя limi—-—,

n^oo n

то її значення vi (x) називається частотою цифри „і" в трійковому зображенні числа х.

©   О. В. Котова, 2006Поняття частоти цифр зображення дійсного числа в s-адичному розкладі є про­дуктивним у різних відношєннях. В термінах частоти формулюються нормальні вла­стивості чисел, формально просто задаються фрактали тощо. Функція частоти ци­фри є всюди розривною і має непросту локальну поведінку. Ще більш складною є динаміка на числовій прямій породжена цією функцією. В даній роботі ми продов­жуємо [11] вивчати множину інваріантних точок відображення y = v1(х),де v1(x) — частота цифри 1 у зображенні числа x в трійковій системі числення. Ми вказуємо „масивну" множину інваріантних точок цього відображення і обчислюємо її роз­мірність Хаусдорфа-Безиковича, тим самим отримуємо нижню оцінку розмірності Хаусдорфа-Безиковича множини всіх інваріантних точок. Ці дослідження напевно можна вважати продовженням досліджень Безиковича [12], Егглстона [13, 14], Біл-лінгслі [7], Фолькмана [15] в яких отримані результати про розмірність Хаусдорфа-Безиковича різних фрактальних множин, означених в термінах частот цифр.

Теорема 1. Для довільної нескінченної послідовності нулів та одиниць [en] існують такі ^ы+\,1ы+2,1ы+з,1ы+а = 0,1, 2,...), що число

X = 0,7і727з74Єі7б777879Є2 ...7бг+175г+27бг75г+4 Q+1

є розв'язком рівняння

 

v1 (x)= x. (2)

ДОВЕДЕННЯ. Нехай {tn} довільна фіксована нескінченна послідовність нулів та одиниць; si = 1,Sn+i = 3Sn п = Sn - Sn,n =1, 2,....

Розглянемо послідовність трійково-раціональних чисел x = 0,71 ...7sk, де трійко-ві цифри 7і числа     обчислюється за наступними правилами:

 

1

 

 

2

ви = [(s1 + 1) x1] - [s1x1] = [2x1] - [x1]= зP21 = [(s1 + 2) x1] - [(s1 + 1) x1] = [3x1] - [2x1]=  33  - 3

2\ =1.

3

3

Тоді

@11 + $21 = [3x1] - [x1]=3x1 - [xx]. Нехай N1(xk) кількість одиниць в трійковому розкладі числа    , тобто N1(xk) = N1(xk ,sk). Тоді кількість одиниць в трійковому розкладі числа x2 обчислю­ється за формулою:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7 


Похожие статьи

О В Котова - Фрактальність множини розв'язків одного класу рівнянь які містять функцію частоти цифр