В Э Ля Hue, X Б Майорга - К теории одноточечной краевой задачи для оператора лапласа 1 - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5 

УДК 513.88

В. Э. ЛЯ HUE, X. Б. МАЙОРГА

К ТЕОРИИ ОДНОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА. 1.

0. Пусть D = Co(Rs), D'-пространство распределений, сопря­женное с D, Д-оператор Лапласа D' ->D'. Таким образом, Vf£D', VcpgD (А/іф) = (/1 Дф), где (f|<p) обозначает значение функцио-

нала / на основной функции ср, причем ц>(х) =ср(х), x^R3. Это

_ def

определение  А/  эквивалентно следующему. Пусть / = Ф/ есть

def

Фурье образ распределения  /,  причем Уф £ D ф (|) = Ф<р (|) =

есть результат умножения / на мультипликатор I'1, где

Обозначим через Hs соболевское пространство порядка s: Vs £ R

def ['

Hs = H*(Rs) = {f£L2(R3):\ (1 + |[1])SI/(№I <oo};  V/, g£H>

def.

= t + ll + ?3-

(0. 1).  Пусть S есть естественное

def def

сужение оператораД на Н~Н° = L, (R[2]),   так    что   D (5) =

def

= {/б#:Д/Є#} и Sf = ~ Д/ при f£D(S). Ясно, что D(S) = #2, что S есть самосопряженный оператор Н->Н и что скалярное произведение1 (• 1 -)d [s] эквивалентно (• | ■)#«..

Из элементарных теорем о порядке гладкости и порядке убы­вания преобразования Фурье легко вывести следующее утверж­дение.

0. 1. Лемма. Если /£#2, то f непрерывна на R[3], /(х)->0 при х->оо. Распределение Дирака 8 (Vcp£ D8 (ф) = ср (0) (непре­рывно относительно (| \\н», fa поэтому также относительно

ИИ*])-

Отметим, что для /?'г с > 3 аналогичная лемма места не имеет.

def

Пусть D (S„) = {/££> (S): / (0) = 0} и 50 с= 5. Из леммы 0.1 следует, что S0 есть плотно заданный замкнутый симметрический оператор Я->Я с индексом дефекта (1.1). В [1] было объяснено как самосопряженные расширения оператора S0 связаны с теорией точечного взаимодействия2.

Здесь мы дополним описание самосопряженных расширений опе­ратора S0, указанное в [1], описывая эти расширения в терминах краевых условий, как в «импульсном» |-представлении, так и в «координатном» х представлении1. Краме того, для каждого такого самосопряженного (и даже квазисамосопряженного) рас­ширения мы явно построим оператор, диагонализирующий это расширение, т. е. построим соответствующие формулы обраще­ния [4] (и соответствующую спектральную плотность).

def л

1. Сначала опишем оператор S1 = S0. Отметим, что50 cz S czSlt 1.!. Теорема. Пусть

def --- def   я х ''х

я0 = (4я|/2)!/2 (1.0); е0(х) = 4^-5іп^-ехр^,х€і?[5]. (1.1) Тогд . е0 Я'2 = D (S); [|e0||D[S] = l и D (S) = D (S0) фСе0. (1.2)

Кроме того, Se0 (х) =       cos yf expу~ ,x£R[6], (1.3) Se0 £ D(SX). |Seo|iD[Sl] = I и D(S1) = D(S)eCSe0. (1.4)

1 Пусть L есть линейный оператор H    Н. Через D [L] обозначаем об­ласть определения D (L) оператора L, наделенную скалярным произведением def

его графика: (/ j g)D [і] = (f \ g) + (Lf Lg), если f, g£D (L).

Прямые разложения (1.2) и (1.4) являются (•(•^^-ортогональ­ными.  Наконец, SjSe,, = —е0 (1.5).

Для доказательства теоремы 1. 1 мы воспользуемся одним наблюдением, сделанным в [11]. Пусть Я-абстрактноэ гильбертово

пространство, С (Я) класс линейных плотно заданных замкну­те/   , def

тых операторов Я->Я, L0, L£C(H), L0czL, М = L0, М0 = L*, так что М0, М^С(И) и М0 cr М. Рассмотрим прямые разложе­ния D(L) = D(Lo)0t/, D(M) =D(M0V, ортогональные отно­сительно,   СООТВеТСТВеННО   {-\-)d[Li И(-|-)о[Л1].

Страницы:
1  2  3  4  5 


Похожие статьи

В Э Ля Hue, X Б Майорга - К теории одноточечной краевой задачи для оператора лапласа 1