М Е Лесина, Н Ф Гоголева - Частное решение задачи о движении двух гироскопов лагранжа сочлененных неголономным шарниром - страница 1

Страницы:
1  2  3 

УДК 531.38

 

 

М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева

 

 

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ДВУХ ГИРОСКОПОВ ЛАГРАНЖА, СОЧЛЕНЕННЫХ НЕГОЛОНОМНЫМ ШАРНИРОМ

 

Постановка задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных сферическим и неголономным шарнирами, дана в работе [1]. В работах [1-3] найдены точные решения задачи. В работе [4] получены уравнения аксоидов для этой задачи. В статье для уравнений движения системы работы [1] найдено частное решение.

 

Исходные соотношения. Приведем вначале три дифференциальных уравнения и одно алгебраическое из работы[1] [1] (38)*, (39)*, (34)*, (37)*(g + 1)[H (Q2 -а>2 cos9)-(A0n + Nn0 )sin9] = = 2а>'2 - (Nn0 + A0n0 sin 9)] sin 9 ,


(1)

 

(2)

 

 

n' = - nо cos 9 , (3)n    n 0

со 2 sin 9 = cos 9            . (4)

2                J                 J 0 W

Здесь A, A0- экваториальные моменты инерции тел, J, J0- осевые моменты   инерции  тел,   N = mm 0 ll 0/ (m + m 0 )   -  параметр, имеющий

 

размерность момента инерции,    H = AA0 - N   > 0 , штрихом обозначено

дифференцирование по 9.

Построение решения. Зададим инвариантное соотношение в виде

4 = 1, (5)

при этом из уравнения (2) имеемHQ 2 - N (n 0 sin 9- n ) = 0 ,


(6)внесем сюда выражение n' из (3), получим

 

HQ 2 + N (n + n 'tg9) = 0 .

Примем ограничение

N = 0,

из (7) находим

Q 2 = C,

 

где C - постоянная интегрирования.

Подставив (5), (8), (9) в (1), получим уравнение

A (а>2 sin 9) = AC - n sin 9 + n 0 sin2 9 , которое вследствие (3), (4), принимает вид


 

(7)

 

 

 

(8)

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

(10)A   2    A 2

cos 2 9 + — + sin 2 9
J                     J 0


n +


A

1 - A J J


n sin9 cos9= AC cos9


(11)и может быть проинтегрировано без ограничений на параметры A, J, J 0 , C:n (9) = e'P (9) d9[C 2 + j Q (9) e - P (9) d9d9_


(12)здесьP (9)

 

 

Q (9)


(A/J -1)sin9cos9

A J 0 +(A/J) cos2 9 + sin2 9

___________ AC cos 9____________

AjJ 0 +(A J) cos2 9 + sin2 9


 

(13)Отметим, что+ — cos 2 9 + sin 2 9 > 0 ,

1

J0 J

J P (9)d9Теперь из (12) находим:n (9)


хх


 

 

C 2 + AC \


A J 0 + 1 + (A J -1) cos2 9 d sin 9

A J 0 + A J+(1 - A J) sin2 9


(14)Если A = J, то

 

 

n (9)


 

 

1

A J 0 +1


 

 

 

C 2 +


 

AC sin 9 \ A J0 +1 j


 

 

(15)Если же A Ф J, то в зависимости от знака величины 1 - A J интеграл
можно представить в виде элементарных функций
9:
г          d sin 9V1 - A J


arcsin


(A - J) J,

A (J + J 0 )


sin 9 ,  если A > Jd sin91 - A J


arsh


(J - A) J{

A (J + J 0 )


sin 9 ,  если A < JПодробно рассмотрим случай

C = 0.

При этом зависимость n (9), как следует из (14), такова:

n(9)= C2

V AJ 0 +1 + (A J -1) cos2 9

Введем новые параметры с целью сокращения записи


 

(16)c 2 =v A J 0 +1 JC * , (18)

A J -1 = ь* ( a J0 +1). (19)

Отметим, что Ь* > 0 при A > J, , в противном случае Ь* < 0. Случай A = J

приведет к постоянному значению переменной n , его не рассматриваем. С учетом (18), (19) переменная (17) примет вид

JC

n (9)=                     = . (20)

д/ 1 + Ь* cos2 9

Условие (16) означает, что

Q 2 = 0 . (21) Подставим (20) в (3) и проинтегрируем, найдем

 

JC* Ь* cos9

n0 (9)= ,                 = . (22)

д/1 + Ь* cos2 9

 

Внеся (20), (22) в соотношение (4), определим

 

JC* (1 + ь* ) cos9

с2 (9) =------ , --------------------- . (23)

Ад/1 + Ь* cos2 9 sin9

Таким образом, на инвариантном соотношении (5) найдены выражения (20)-(23) для четырех переменных задачи. Компоненты угловых скоростей со3 , Q3 находим из соотношений (11)*

со3 (9)sin9 = Q2 -c2cos9, (24) Q3 (9)sin9 = Q2cos9-c2, (25) Подставив в (24), (25) соотношения (21), (23), получим

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

М Е Лесина, Н Ф Гоголева - Уравнения подвижных и неподвижных аксоидов для класса движений по инерции системы двух гироскопов лагранжа

М Е Лесина, Н Ф Гоголева - Частное решение задачи о движении двух гироскопов лагранжа сочлененных неголономным шарниром