Д Ш Лундина - Ядро резольвенты трехмерного оператора шредингера - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 517.946

д. ш. лундина

ЯДРО РЕЗОЛЬВЕНТЫ ТРЕХМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

Как известно, уравнение Гельмгольца в трехмерном простран­стве —Au(x, X)— X*u(x, X)=f(x), f (х) GL2(i?8) (1) при всех X из полуплоскости 1тЯ.>0 имеет единственное решение из L2(R3), и это решение представимо в виде

"(*. У) = ~ ){7=V-jf(y)dy. (2>

] Ri%\x-y\

Функция 2~ j--- , называется ядром резольвенты оператора —А

или функцией Грина уравнения (1).

Рассмотрим трехмерный оператор Шредингера L = —А + Q (х) (х £ Ra) (3) с ограниченным не обязательно вещественным потен­циалом q(x). Если \q(x)\<M, то уравнение (L№)u(x, X) — — f (х), f (х) £ L% (Rs) (4) при всех X из полуплоскости Im X > Ум тоже имеет в пространстве L2(RS) единственное решение, и оно

представимо в виде u (х, X) — ^ G (х, у, к) f (у) dy.

R,

Функция и (х, у, X) называется ядром резольвенты оператора L или функцией Грина уравнения (4). Она имеет такой вид

G(x, у, ^)=ЇЙ(ПГГ7| + Т(^ У, *

где у(х, у, X) решение уравнения

(_д _    у (х, у> X) = -q (х) [у^] + У (х, у, X)) , (5)

принадлежащее пространству L2 (Ra).

Теорема. Если | q (х) | < М, то при всех X из полуплоскости 1тХ>Ум функция Грина G(x, у, X) уравнения (4) предста-вима в виде

0{х, у,%) = ^ {jjzrj-, + ) К(х, у, о    dt),

 

ПОпричем ядро К (х, у, t) удовлетворяет неравенству \К ^ ^l/2MchVMt (6) и К(х + у, у, \х\) = -2jT| I ?(fTP^)x

 

X ^рК== rTjj (7)-

Доказательство.  Нам  нужно доказать,   что функция

у (я, г/, A,) = 4nG(*, у, к)— . , _ „, представима в виде

У\

(8>

со

у(х, у, Х)=  {   К(х, у, t)eiudt

\х—у\с ядром К(х, у, t),  удовлетворяющим условиям (6), (7).

у{х, у, *) = -^

7(6. У,

Из уравнения (5), которому удовлетворяет эта функция, со­гласно (2), следует, что

. J ПГ=г|7 9 (6) [ff^f\

Будем искать решение этого интегрального уравнения в виде (8). Тогда для ядра К(х, у, t) получим такое интегральное уравнение-со

j   К(х, у, t)e^dt = -±

ІХ—УІ


q&Y


,іЩ-У\

1


41 +

 

R, іг-г

Полагая для країкости х — у = х'\ \ — у = ^; 9 = g (у + К(ґ, і) = К(х" -f у, у, f) (9), придем к уравнению

-Г                                і Г Г il+lil}

 

 

+ j f^z^J 5 (ri) j К (Ці т) е'* dx dn], (10>

эквивалентному исходному. Сделаем в первом интеграле право» части этого уравнения следующую замену переменных: \х' — т) J + 4-І ;п| о>^ = rj/jn I- Когда |т]| меняется от 0 до + оо, ^ меня­ется от \ х'\ до +00- Поэтому для любой функции /(т]) £LX (Rs}

U(r\)dr\=   j   {f/(|nK)|n|M|Tl|}<4 =
Л,                4,1 =1 о

 

МІ

!<^i=I \x'\

КрОМЄ    ТОГО,     jX'l2 -f і Ї) J82 I X' j j T) j 0V»t] = ) л/ T) J2 = f -f

-f 11] I" — 2f і T] j(ax> =       и значит,

 

ill'

2 (t - і at' і сох,(оТ1) '

^-f f at'!2 — 2/1 аг» ! en ,co

2     — ; X' і И,,!»,,)
-  .' x' j2 21 j АГ*

dt           2 (t і at' ( о)л.,шт)а

Поэтому

 

 

 

 

 

|o> |=i [x'l

і.ї'і        К, 1=1

J 2 (t - і jc' I cvco/ v \ 2 U - I x' і ov<o ) ші/ dtj dffl, =
J,.          J    2(£ |лг" (й^ш^)2 4 \2(tI at' 1(0^)  1/ ""J

Продолжим функцию (г), в область '£< \ г\\, полагая ее рав­ной нулю в этой области. Тогда

С еЩх'—і\\ f ~

 

f ва{|дг'-т)|+т}

 

 

откуда после замены переменных t = j x' r\ J -f- т, r\ т) следует

f e'^IX'-Tj.   Г' ~

 

С ешесли учесть, что /((tj, t—\х'Л|)=0 при t — \х'—Г|| <С f"П/.

Сопоставляя уравнение (10) о формулами (11), (12), приходим к следующему уравнению ядра для л(т)> t):

 

 

!ш| У 1

_1_

4 jt


J    ?w*%'-;f-"l'<(n- (13)

Будем решать это уравнение методом последовательных при­ближений, полагая

K0(x,t) = -i   J 2(,_|^-|^,й))^(2(,_|1ч^(0)^^

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Д Ш Лундина - Компактность множества безотражательных потенциалов

Д Ш Лундина - Устойчивость обратной задачи теории рассеяния для матричного уравнения штурма — лиувилля

Д Ш Лундина - Ядро резольвенты трехмерного оператора шредингера