А Г Чернявский - Квазианалитические классы порожденные гиперболическими операторами с постоянными коэффициентами в r - страница 1

Страницы:
1  2 

ЧДК 517. 51

А. Г. ЧЕРНЯВСКИЙ КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ,

ПОРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В R*

В статье изложены результаты изучения квазианалитических классов функций, порожденных несколькими гиперболическими операторами произвольного порядка с постоянными коэффициен­тами, действующими на функции и {х, у) двух переменных. Для упрощения записи рассматривается случай двух операторов Нг и Я2 порядков k и / соответственно. В случае Н1 = Dx, Я2 = Dy эта задача рассматривалась вначале П. Лелоном [1] и А. Л. Кузь­миной [2], а затем В. И. Мацаевым и Л. И. Ронкиным [3, 4].

В статье использованы методы теории абстрактной квазиана­литичности для операторов в банаховом пространстве, развитой Ю. И. Любичем и В. А. Ткаченко [5, 6].

Пусть UlczR* есть область влияния кусочно-гладкой кри­вой L, т. е. множество таких точек Z£R°-, что все характери­стики операторов Ну и Я2, проходящие через точку Z, имеют непустое пересечение с кривой L.

Пусть задана неотрицательная последовательность {mpq\p скорость  роста которой,  следуя  работе  [1],  будем измерять с помощью последовательности [Мп}о ,  построенной по правилу

Мп = ші1 {шрд, kp -f lq = я), если для /г возможно хотя бы од-цо представление вида я = kp + lq, и Л1„ = оо в противном слу­чае.

Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Для того, чтобы из соотношений

Н{Н\и{х, y)£Cr(UL), r = max{k, I}, \H[Hl и\^тм, Dsx,y H{ X

X HlulL = 0, ls\^r—l;p,q=0, 1, . . . (1)

следовало, что u(x, y) = 0, (x, y)^UL, необходимо и достаточ­но, чтобы последовательность {М,,} удовлетворяла условию ква-

f In Т (г) dr гп зианалшпичности \-— = оо, Т (г) sup       . (2)

1

Теорема 1 была анонсирована нами в заметке [7]. Если в те­ореме 1 принять HX=DX; H2=Dy, то получается результат, установленный Л. И. Ронкиным [4].

Необходимость условия (2) для квазианалитичности может быть без труда обоснована с помощью стандартных методов тео­рии квазианалитических классов [8].

Для доказательства достаточности прежде всего отметим сле­дующий простой факт.

Лемма 1. Пусть бесконечно дифференцируемая финитная функция / (г/) Є С00 (RN), N> 1 удовлетворяет оценкам \Daft D%\ X

X /(г/i, Уг)\<,гпРЧ, У = (Уи Уг)> #i€#d> Ы = &>|Р1 = Up, q = 0,1*... с фиксированным разбиением переменных у (уъ у2) и фикси­рованными мультииндексами а и |3, пусть последовательность {mpq} удовлетворяет условию квазианалитичности (2). Тогда функция f (у) тождественно равна нулю.

Следующее утверждение позволяет перенести теорию абстракт­ной квазианалитичности [5, 6] на случай нескольких операто­ров.

Будем говорить, что полином Q (xlt .. . , xs) степени k удов­летворяет условию Е с показателями {а,-}, если справедливо пред-

S S

ставление Q (хъ . . . , xs) = С П х°:1 + q (xlt . . . , xs),      «t k,

i=l 1 = 1

СфО, в котором степень полинома q меньше k, и любая пере­менная Xi входит в полином q(xu ... , xs) со степенью не выше а,-.

Заметим, что для некоторого положительного R при \%i\^R, і = 1, . . . , s выполнена оценка

s

\Q      . . . , Ks)\ > const П > R. (3)

і~ З

Лемма 2. Пусть в банаховом пространстве S заданы опе­раторы Аі, . . . , An, N> і, не имеющие спектра, резольвенти Ri (К) которых являются целыми функциями экспоненциального типа, равномерно ограниченными при Reh = Q. Предположим,что операторы и резольвенты коммутируют, точнее, если х£ £Dom і Л/) П Dom (Л/Л;), то Аі А,-х = Л/А(х, и если x£Domx х (Л() Л Dom (Л,-), то Rt(k) x£Dот(At) и At Rj (k) х Ri (k) Aix. Пусть полиномы QL(x1, . . . , xd) и Q.2(xd+\, . ■ ■ , xn) степени k и l удовлетворяют условию Е с показателями {ас} и {р\} со­ответственно, операторы Ву и В2 заданы в виде Вг = Q1(A1,... , Ad), В., = Q2 (Ad+i, . , An), и последовательность {mpq} удов­летворяет условию квазианалитичности (2). Тогда из соотно­шений[1] х £ Dom (В{ Вч2), j| В[ В\ х || ^ mpq\ р, q = 0, 1, .. . следует, что х 0.

Доказательство леммы 2. Рассмотрим произвольный ли­нейный функционал f£S* и целую функцию экспоненциального типа от N комплексных переменных F'(R1(k1). . .Rn^n) х), h£C. Покажем, что эта функция имеет минимальный экспоненциаль­ный тип в области ReX;^ 0, і =1.....N. Выберем такое число р,

что при условии \кі\^р, і = {,... , N полиномы Qx и Q2 удов­летворяют оценке (3) с показателями {ас}, {р^} соответственно. Пусть Lp[2]' есть контур в комплексной плоскости кі £ С, состав­ленный из двух лучей {\кі\ ^ р, ReJw = 0 и полуокружности = = р, ReA(-^ 0), и пусть Lp = {(Я1; .... км): kc£L(9l>. Введем целук функцию w(%), к£С, удовлетворяющую в области ReA.^0 соот­ношениям max \кп w (к)\ < оо, я = 0, 1, ... и имеющую в этой об­ласти нулевой индикатор. Рассмотрим бесконечно дифференциру­емую функцию

г N

X (slt . . ., sN) = \F (( П w (h) e~^si Re (kc)) x) dkv .. dkN, Si > 0.

v        і—l

p

Из тождества

nn n

П Rj(kj) AiX = kiU Rj(kj) x + URj^x,        fl Dom (A,)

/=і /=і ІФІ i=l

следует, что

n n n—1

П Rj (kj) A? x = кі П Rj(kj)x+ S Я*П Rj(kj)A?~x~k x, Akx£

n

£ П Оот(Л/), At = 0.....я — 1.

Поэтому, если вектор х удовлетворяет условию леммы, то спра­ведливо представление

n n

П Rj (ц В\В\х-= Ql(ku ... , kd) Ql (kd+u . .. , kN) П Rj (kj) x + ;'=i /=i

n

+ S <p<(V • • •. kN),

ли у £ Dom (Л™[3]. . . A®d) для любого мультииндекса а, \а\в котором вектор-функция фі (Хи ... , Kn) является полиномом по переменной Я;. Пользуясь этим представлением, оценкой вида (3) для полиномов Qi и Q2, леммой Жордана и обозначив а=(а1,..., ad). Ті = (su . . . , sd), получаем

n d

DtP D% x (Sl, .. . , sN) =   F (( П ш (X,) e-^« Я, (A,-)) 5? 5^) П x

'        4    1'==1 f=I

X ЯР П    Ар Q7P (Ai, ... , Xd) Q^q (Wi.....МЛ ID?* Z??J x X

X (5,, .. , .s\v)'< (CO:'StF S/>0.    ,;>^;:; ..

Рассмотрим функцию % (slt . . . ,sN) — % (sl, . .. , s%). Поскольку по теореме Винера-Пэли % (sv . . . , sn) = О, если существует та­кое і, что Si^ac, где 0,- тип резольвенты Rc(X), то х бес­конечно дифференцируемая финитная функция. Применяя лемму 3 работы [4], получаем, что |D"P к (sb . . . , sN)\^ (const)p+« x X mpq, Si^R1. Пользуясь леммой 1, получим тогда, что к = О, т. е. x(si>• • > sjv) =0 при Si^O, і = 1, . .. , N. Это означает по теореме Винера—Пэли, что функция F(Rl(X1)... Rn(Xn)x) имеет в области {A: ReXi^O, l^i^N) минимальный экспонен­циальный тип. Аналогично рассматривая другие области CN, яв­ляющиеся прямыми произведениями комплексных полуплоско­стей ReXi^O или Re^i^O, и пользуясь принципом ФрагменаЛинделефа, получим, что для любого функционала F£S* функ­ция F (RX(X1) . ■ ■ Rn (A-jv) х) тождественная константа, незави­сящая от переменных %с, но тогда R1(k1). .. Rn (Xn) х = const, откуда сразу же получаем, что х = 0. Лемма доказана.

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

А Г Чернявский - Квазианалитические классы порожденные гиперболическими операторами с постоянными коэффициентами в r