А Н Пличко, В К Маслюченко - Квазирефлексивные локально-выпуклые пространства без банаховых подпространств - страница 1

Страницы:
1  2  3 

УДК 517.98

А. Н. ПЛИЧКО, В. К. МАСЛЮЧЕНКО

КВАЗИРЕФЛЕКСИВНЫЕ ЛОКАЛЬНО-ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА БЕЗ БАНАХОВЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ

Известное квазирефлексивное пространство Джеймса, а также различные его банаховы вариации и обобщения исследовались мно­гими авторами. В работе [1] рассматривались квазирефлексивные локально-выпуклые пространства. Приведем пример квазирефлек­сивного локально-выпуклого пространства, не изоморфного ника­кому банаховому пространству. Таким будет, например, прямая сумма какого-нибудь рефлексивного топологического векторного пространства, не изоморфного банаховому (скажем, пространства R°° всех последовательностей с топологией покоординатной сходи­мости), и квазирефлексивного пространства Джеймса. В связи с этим М. И. Кадец на расширенном заседании семинара Западного науч­ного центра АН УССР, посвященном памяти С. Банаха, поставил вопрос о существовании квазирефлексивных локально-выпуклых пространств, не содержащих никаких бесконечномерных банаховых подпространств. В этой статье мы рассмотрим два естественных способа построения таких пространств.

Приведем определение и некоторые необходимые нам свойства пространств Джеймса. Зафиксируем число 1 < р < оо. Простран­ство Джеймса Jp состоит из всех последовательностей х = £/г, .. .), сходящихся к нулю и имеющих конечную р-ю вариацию

1| * IU„ = SUP (2Г І Ьі - Ье-, У + I Ьт п/р, (і)

где sup берется по всевозможным возрастающим конечным наборам

ka, . . . , km. Элементы ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), k£N, образуют

k

базис пространства Jp, а биортогональные к ним координатные функционалы pk базис сопряженного пространства J*; второе со­пряженное Jp* состоит из последовательностей ~JP с конечной р-н вариацией (1), причем каноническое вложение я: Jp J** совпадает с естественным вложением Jp^Jp. Для /7 = 2 эти утверждения есть, например, в работе [2]; на произвольное 1 < р < оо доказа­тельства переносятся дословно.

Лемма. Пусть а = (а/)/Ц lP, (£/)/Lo некоторая возрастаю­щая последовательность индексов с kQ = 1 и (y/)JLi последова­тельность элементов вида у,- 2j^_, Чквк с ||г//||ур^1. Тогда ряд Еі°а/У/ сходится в пространстве Jp и

Доказательство. Для сокращения записей обозначим че­рез 5 множество всевозможных конечных возрастающих наборов s = (Sq, ... , sm) и для последовательности х = (Ik) и набора s = = (Si)£Lo5 положим

(х, S) = І Ьі Г + I Ьт \" И Vp (Х) = SUp VP, S).

Последовательность у = (а1ті1.....аіЛЛі-і. «2*1*,. • • - , ад^-і. •••)

является, очевидно, покоординатной суммой ряда Si°a/#/- Оценим норму вектора z„ = у"£ііаіУі- Для произвольной вариационной суммы vp (zn, s) имеет место неравенство вида

vP (гп, s) < 2 «• t>„ (airyJr, s<'>) + £«■ | а/;т^ - а^М",

где s(r) Е S, (/г), (/;), (/") — возрастающие последовательности ин­дексов, больших п, причем j'r <      а (k'r) и (/г") подходящие возрастающие последовательности индексов, для которых к,- -^ К < kj' у  И kj-n^k'r < kj»+l при г = 1, ... , R2. Поскольку

Еі' Ъ {a,,y,n s<") =        a;> |% (г//г, s(0) < <2іЛ,ІаР/>п|а/Ір,

а 2?21a/;v ~ W|p < ((S f21 «л ip)1/p + + (£х*21 «,;v,P)I/P)P ^    21 a/;|p)1/p +

+      I a/; lp)1/p)p < 2" £/>n і a/ p,

то t»p(z„X(l +2")I]/>„|a/|p.

В частности, при = 0 получаем wp (г/) ^ (1 4- 2") Yix I а/ Р> откуда следует, что y£Jp и || г/ ||Jp < (1 + 2р)х'р \\а \\ір < 3 || а |гр. Кроме этого,

Hi/-Si^/|j/p<3(S/>„|a/|")1/p> .

поэтому ряд Yil аіУі сходится к у в Jp.

Предложение 1. Каждое замкнутое бесконечномерное подпро' странство X пространства Jp содержит замкнутое подпро­странство Y, изоморфное 1р.

Доказательство (сравни [3, с. 165—167]). Из бесконечно­мерности X следует, что для каждого номера N в X существует элемент х = (Ik) с II х||ур=ь для которого £х = • • • lN = 0.

Пусть k0 = 1 и х1 = (l\k) произвольный элемент с || Хг \\jp= = 1 и gu = 0. Возьмем такой номер k1 > k0, что норма элемента zl 2*>ftiSiftefe в пространстве Jp меньше, чем 1/4, и выберем в X

вектор х2 = (|2*) с Н х2 \\Jp = 1, для которого І2к = 0 при k= 1.....

feL. Найдем, далее, такое k2 > kx, что норма элемента z2 = = Yik>k.,hkek в пространстве Jp меньше, чем 1/16, и такой вектор = (hk) X с \\х3 \\Jp = 1, для которого 1зк = 0 при k = 1,..., &2. Продолжая этот процесс до бесконечности, мы получим возраста­ющую последовательность индексов (kj)JLo с k0 = 1 и соответ­ствующую ей последовательность векторов X/£ X, таких, что для произвольного / = 1, 2, ...

II х/ lUp = L %ik = 0 при    = 1, .. . , fe/_i

и норма элемента г,- = 2*>а/Е/*е* в пространстве Jв меньше, чем 1/4/.

2^__і й/_!+і І/йЄа. Для произвольной по­следовательности а = (а,) £ /р имеем

II 2Г «/*/ ||/р < 2Г" II а/1II2/ \\Гр || а ||/р £Г ^ = З"1 II«||/р

и в силу леммы

IEi"«#/ILf,<3|[a||ip.

С другой стороны, для каждого / = 1, 2, ... || у,- \\Jp > || х,- \\Jp || Z/ ||/р ^1 — 1/4' > 1/2, поэтому существует вариационная сумма vp(y,; s(/>), большая, чем 1/2р. Каково бы ни было т, число ЕіЧ» (ос/у,-, не  превышает  некоторой  вариационной суммы

vp (у, s) последовательности г/=ЕГа/#/- Поэтому

»Р (У) > ЕГ ур («/У/.       = Si" I «/     (#/> «(Л) > 2£Г I а; I",

откуда Ц^ІІ-ЧІаЦ/р. Тогда

(1/2 - 1/3) || а ||/р < || Sr «Л к < (3 + 1/3) II a Ц*,.

Следовательно, формулой г|з (а) = ^ Г а/*/ определяется линейное непрерывное ограниченное снизу отображение пространства /р в X. Это отображение и есть изоморфизм на подпространство К = = 1l'(WE^i которое необходимо замкнуто.

Напомним, что отделимое локально-выпуклое пространство X называется квазирефлексивным, если оно является замкнутым под­пространством конечного дефекта в своем втором сопряженном X** наделенном сильной топологией р (X**, X*), и топология р (X, X*) совпадает с исходной топологией пространства X.

для   1 «^/? < ОО   ПОЛОЖИМ   Jp+0=  C\q>pJq,   з   ДЛЯ    1 < р ^ ОО

определим Ур_о = (J\<q<PJq. Наделим пространство 7р+о проектив-80ной топологией относительно семейства вложений Jp+o ^ Jq{q > Р), а пространство 7р индуктивной топологией относительно семей­ства вложений Jq^Jp-o (l<q<p). Поскольку пространства Jq с ростом q увеличиваются, а их нормы убывают, то пространство Jp+0 (соответственно 7р_о) можно рассматривать как проективный (соответственно индуктивный) предел последовательности про­странств Jgn, где qn | р (соответственно qn \ р). Пространство Jp+o является пространством Фреше, a Jp-o бочечным пространством Макки.

Положим также Jp+o = П q>pJq при 1 ^ р < ОО и Ур_о = = U \<q<pJq при 1 < р ^ оо. Пространство Jp+o (Jp-o) наделяется топологией, индуцируемой из jp+o (Jp—о), которая совпадает с есте­ственной топологией проективного (индуктивного) предела на Jp+o (Jp-o)- Пространство Jp+o (соответственно JP-o) является замкну­тым подпространством дефекта 1 пространства Jp+0 (соответственно Jp-o). Действительно, как легко видеть, оба пространства Jp+o и _о непрерывно вложены в пространство с всех сходящихся по­следовательностей с топологией равномерной сходимости, следова­тельно, функционал / (х) = lim     непрерывен на Jp+o и на 7р_о-

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

А Н Пличко, В К Маслюченко - Квазирефлексивные локально-выпуклые пространства без банаховых подпространств