Т М Карасева - О некоторых биортогональных рядах - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ЗАПИСКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА ХГУ И ХАРЬКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

1957

Том XXV

О НЕКОТОРЫХ БИОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДАХ Т. М. Карасева

Харьков

В различных областях прикладной и чистой математики играют •существенную роль вопросы полноты системы функций вида

Є"п* (1).

в пространстве Z2(0,1), где параметры /.„ выбираются из того или иного множества. В качестве примера достаточно назвать классическую теорию рядов Фурье, прикладная и теоретическая ценность которой

. п х

обусловлена полнотой системы функций е1 -'-' (п = 0, + 1, +2,...).

Вопрос о полноте системы (1) в зависимости от геометрической характеристики множества точек >.„ комплексной плоскости является весьма сложным. Наиболее далеко идущие результаты в этом направ­лении, насколько нам известно, получены М. Левинсоном и А. Повз-нером.

Однако в ряде случаев проще исследовать полноту системы (1), ле опираясь на геометрическую структуру множества {Х„}, а исполь­зуя другие характеристики этого множества, непосредственно выте­кающие из рассматриваемой задачи.

В предлагаемой работе исследуется полнота системы [1), у кото­рой параметры Х„ являются нулями функции

і

p(l) = ~L\ P[t)e-Mdt   (/>(*) €£a(0,l)). (2) V 2.к о

Эта задача возникла из некоторых вопросов прикладного ха­рактера.

Заметим, что, если Р (7)=1,то числа Х„ образуют арифметическую прогрессию. Поэтому теорема полноты теории рядов Фурье является частным случаем поставленной задачи.

Более того, к этой же задаче сводится вопрос о полноте системы собственных функций дифференциального оператора

удовлетворяющих граничным условиям

У(0)-8у(0) = 0;   J/'(1)-6,3/(1)= О,

где Ь и 6, — произвольные комплексные числа. Подчеркнем, что гра­ничные условия, вообще говоря, не являются самосопряженными.

В заключение отметим, что помимо исследования полноты си­стемы (1) в работе дается эффективное построение биортогональной системы функций.

§ 1. Пусть Р{х) произвольная функция из Z.2(0,1) и р(к) пре­образование Фурье этой функции, определяемое равенством (2).

Перенумеруем все нули р (к):

к1, Х2,..kk,.,.

и обозначим кратность нуля кк через тк. Рассмотрим совокупность функций

хР еа*х(р = 0,1,..., mk - 1;   k = 1, 2,...) (3)

и обозначим замкнутую линейную оболочку этих функций через А. Для дальнейшего полезно получить другое определение этого мно­жества. С этой целью рассмотрим уравнение і

P(t)ty{x i)dt = 0   (—оо:<оо) (4)

о

вместе с начальным условием

V(-'c)    v., -v)   (0<*<1), (5)

предполагая, что функция ty0(x) принадлежит £2(0,1).

Систему (4), (5) мы будем называть разрешимой, если суще­ствует функция

<!>(*)(— 30 <х<«з),

обладающая следующими двумя свойствами:

1. ф (х) удовлетворяет соотношениям (4) и (5);

2. Существует столь большое число с > 0, что

e-°\ *1<1?(х) е/.2(— «о , со). Обозначим через В линейное многообразие всех функций

для которых система (4), (5) разрешима. Связь между А и В устанавливает

Лемма. Пространство А совпадает с замыканием* многообразия В.

Доказательство. А С В. Действительно, каждая из функций (3) принадлежит В (если % (х) = e'V (0 < х < 1), то функция <]>(.*) = £'V (—со < х < °о ) является решением системы (4) и (5)).

С другой стороны, В (Л, как это непосредственно вытекает из теоремы (см. [1], теорема 146):

Пусть 0 < с < С\ и eci]x\P(x) принадлежит к L( со,»), а е~с-А ty(x) к 1г(со, со). Тогда, если Ъ(х) удовлетворяет уравнению

у- J P(t))(x t)dt = 0 (-со<со), то она имеет вид

тгде Xp пробегает все нули функции р (к)—   1_     ] Р (t)e~iXt dt,

для которых ] lm kv | ^ с, с^^-постоянные коэффициенты и mvкратность нуля kv.

В § 5 доказывается линейная независимость системы функций (3). Поэтому из приведенной теоремы вытекает также, что система функ­ций (3) образует базис в В.

Итак, А = В, и лемма доказана.

Пусть ty0{x)zB. Система (4), (5) при этом разрешима. Обозначим решение этой системы через ф(дс).

Уравнение (4) можно переписать в виде

х

j Р{х s) ty{s)ds = 0 (— ос < х < со).

Полагая здесь х=\, получаем в силу (5) соотношение

і

^P(l—s)%(s)ds = 0. (6У

о __

Итак, каждая функция ty0(x)£B ортогональна P(l—s).

Таким образом, В содержится в ортогональном дополнении к функции Я(1 s) (0 ^ s ^ 1).

§ 2. Перейдем от однородного уравнения (4) с неоднородным на­чальным условием (5) к неоднородному интегральному уравнению с однородным начальным условием. С этой целью введем функцию ф+ (х) с помощью равенств

ф+(л)=0, <0), (7) ф+(л)=ф(*)   <0). (8)

Если функция 'Ь(х) является решением системы (4), (5), то функ­ция ф+ (х), очевидно, удовлетворяет следующему интегральному урав­нению:

х

\ P(x-s)if+(s)ds=F(x), (9)

х—\

где

О (.v < 0)

F{x)= { ^P{x s)%[s)ds     (O^x^l) (10)

I 0 (х> 1)

Совершенно аналогичным образом введем функцию ф_ [х).

ф_(х) = ф(х) (jc^O), (11)

Ф_М=0 (*>0). (12)

Легко убедиться в том, что эта функция удовлетворяет урав-

нению

j" Р(х — s)ty-(s)ds--= — F(x). (13)

х 1

Ясно, что из разрешимости системы (4), (5) вытекает разрешимость каждой из систем (7), (9) и (12), (13).

Наоборот, из одновременной разрешимости этих двух систем вытекает разрешимость системы (4), (5). Действительно, складывая равенства (9) и (13), убеждаемся в том, что сумма Л+ (х) -f- ф— (х) удовлетворяет интегральному уравнению (4). Проверим теперь, что эта сумма удовлетворяет также начальному условию (5).

При 0 < х < 1 функция ty-(x) равна нулю в силу (12), а функция ty+{x) совпадает смысле метрики Z,2(0,1)) с функцией %{х). Это непосредственно вытекает из теоремы 152 [1].

Отметим два свойства функции F (х). Пусть ф0 (х) В и функция F (х) определена равенством (10). Из этого равенства и из (6) выте­кает, что

F{0) = 0 и /7(1) = 0. (14)

Предположим теперь, что функция Р[х) дифференцируема в (ОД) и ее производная принадлежит Z2(0,1).

/>'(■*)€£„ (0,1). (15)

В этом случае функция F (х) дифференцируема в том же интервале, причем

F'(x)--y'(x s)%(s)ds + P(0)%(x)    (0<х<1). (16)

і)

Рассмотрим преобразование Фурье функции F(x).

і

f^^^}    \F{t)e-»Ut   (X = ix-f/a), (17)

которое нам понадобится в дальнейшем. Интегрируя по частям ин­теграл, стоящий в правой части этого равенства и учитывая (14), получаем

1      М' ~ ,„ „-».*

m = vW'-k}F'[t]e dL (18)

Из (16) следует, что функция F'[x) принадлежит Z.2(0,1). Поэтому интеграл

і і

F' {() e~lktdt = ) F' [t] efte-Mdt (X = n + w),

и

рассматриваемый как функция |а, принадлежит L2 (0,1) при любом зна­чении а (согласно теореме Планшереля). Из (18) теперь следует:

(!А + Ь)/(!х-(-Ь)ЄІ2(— оо, со). (19)

§ 3. В этом параграфе мы будем предполагать, что функция Р (х) не обращается в нуль на концах сегмента [0,1]

Р(0)Ф0;   Р(\)Ф0. (20)

Кроме того, будем по-прежнему считать, что производная функции Р\х) существует и принадлежит Z2(0,1).

При выполнении этих условий, как будет показано ниже, усло­вие (6) принадлежности ф0 [х] к классу В является не только необхо­димым, но и достаточным. Это означает, что В совпадает с ортого­нальным дополнением в £,(0,1) к функции Я (1—х).

Учитывая, что В —А, мы приходим к следующей теореме.

Теорема 1. При выполнении условий (20), (15) сово­купность функций (3) вместе с функцией Р[ \ х) об­разует базис в L2(0, 1).

Из теоремы 1 непосредственно вытекает

Следствие. При выполнении условий (20), (15) сово­купность функций (3) вместе с функцией еа°х образует базис в L2 (0, 1), если число Х0 не совпадает ни с одним из чисел Xj, Х2,...

Для доказательства достаточно заметить, что условие р (Х0) ф 0 эквивалентно неравенству

і

^P{\—x)ea°xdx Ф 0,

о

(21)

в силу которого функции Р(\ х) и еа°х не ортогональны друг другу.

Прежде чем приступить к доказательству теоремы, выясним неко­торые свойства функции р(к), вытекающие из условий (20), (15).

Интегрируя по частям интеграл, стоящий в правой части (2), на­ходим

і

р (X) = ±-      Г р> {t) е-™ dt + P(0)-P{\),

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

Т М Карасева - О некоторых биортогональных рядах