Д Гордевский - Классификация принципов дуальности и дезарговых конфигураций в многомерном проективном пространстве - страница 1

Страницы:
1  2  3 

Записки научно-исследовательского института математики и механики ХГУ и Харьковского математического общества

Д. 3. ГОРДЕВСКИЙ (Харьков)

КЛАССИФИКАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ДУАЛЬНОСТИ И ДЕЗАРГОВЫХ КОНФИГУРАЦИЙ В МНОГОМЕРНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Общие замечания

Будем считать известным аксиоматическое построение геометрии многомерного проективного пространства, например, по Veblen'y и Young'y *.

Точки, прямые, плоскости и т. д. пространства п измерений будем называть, соответственно, Оэлементами, 1элементами, 2 э л е-ментами и т. д., инцидентными данному пространству. Всякий г'эле-мент есть множество Оэлементов.

Примечание 1. гэлемент часто будем обозначать через *.

Примечание 2. Если k-\-1 Оэлементов не все инцидентны одному (/с1)элементу, то они называются независимыми.

§ 2,—1элемент

Введём—Ізлемент как пустое множество Оэлементов. Введе­ние — Ізлемента сообщает симметрию формулировкам и стройность всей теории.

Примером может служить теорема:

Два элемента і и j 2i < п, 2j^n) могут быть расположе-

ны в (п) пространстве следующим образом:

1) і инцидентен j(i и j ізависими);

2) і uj инцидентны одному і1 и одновременно инцидентны одному uj 1)зависимы);

3) і a j инцидентны одному і— 2 ц одновременно инцидентны одному j + 2 (г и j (і~і)зависим№); и т. д.

і ф2) г и j инцидентны одному 1 и одновременно инцидентны одному        + 1 (* uj —Ізависилш или независимы). Наметим доказательство.

1. Пусть задан j. Отметим г + 1 независимых Оэлементов Аи Аг, ...,Аих, ему инцидентных; определённый ими і будет инциден­тен заданному j. Имеет место первый случай теоремы.

2. Отметим і Оэлементов Alt А2, ..., Аь инцидентных данному J> и пусть Оэлемент Ai+1 ему не инцидентен (А1г А^, ..., AUl независимы), тогда j и Aitl единственным образом определят инцидентный им j 4»1 и одновременно (г1)элемент АХА2 .,. At будет инцидентен как дан­ному /элементу, так и гэлементу А^Аг ... Attl. Имеет место второй случай и т. д.

П рта меч а ни е 1. Задание п в этой теореме несущественно.

Д. 3. Гордебекий

§ 3. Принцип дуальности (PD)„i>m

Будем считать . известным принцип дуальности (который правильнее было бы назвать теоремой симметрии) в /«пространстве (m<n). Сформулируем его так (см.2,, стр. 42,', стр. 412):

если в предложении, вытекающем us аксиом, положенных в основу проективной геометрии, и касающемся конфигурации, вмещённой в ^^про­странство, поменять местами слова:

— ізлемент и т элемент, Оэлементи (т—1)элемент, Ізлемент и (т—2)элемент и т. д.

кэлежнт и (т—к—I)элемент, то получим предложение, которое также вытекает из тех же аксиом. Обозначим этот принцип дуальности символом

(/>/>)_ 1>т = {(—1)012... (т-2) (т-і) т) == (т-і) (т—2)... 210(—1)}.

В отличие от других принципов дуальности, о которых речь будет ниже, принцип дуальности (/>Z>)_ijfl будем называть большим или главным прийцином дуальности «пространства.

§ 4. Ситуация Ck,r

Назовём ситуацией[1]) Ск>Т (А<У < п) образ, дуальный по (PD)^tr пространству»[2]—&—1, вмещённому в г. Число [г—к—-1) назовём измерением ситуации.

Примеры ситуаций:

1) ситуация измерения—1: Сігі — ізлемент,

2) ситуация измерения 0:   Citi+\—пара   инцидентных элементов

і и

3) ситуация измерения 1: С^+2 пучок (г -J- 1)элементов, инци­дентных данному і и данному [3] + 2[4]),

4) ситуация измерения 2: Сід+s связка (i-f- 1)элементов и (г + 2)элементов, инцидентных данному І и данному І + 3,

5) ситуация измерения п: C_)jtlвнространство.

Всякая ситуация СКТ (r>&-|-3) имеет свой принцип дуальности

В самом деле, подвергая' (PZ))_j, r-s-i действию {PD)-iit) полу­чим (PD)k>T-

Сформулируем (PD)kir = {k(k-\-i) ...і) г) так:

если в правильном утверждении проективного характера, каса­ющемся конфигурации, инцидентной с данным U и данным г [к < г, к инцидентно с v), поменять местами слова: кэлемент и тэлемент,

(& + 1)элемент и (г\)элемент,

(к-\-2)элемент и (г—2)элемент и т. д.,

то получим утверждение, также правильное.

§ б. «Число» элементов ситуации

Рассмотрим ситуацию измерения п, например, C_j,n, т. е. ппро-странство.

Классификация принципов дуальности в многомерном проектив. пространстве ІВ7

Нетрудно подсчитать, что ппространству инцидентны оо" Оэле­ментов, соН"-1) Элементов, оо8(п-2) 2элементов, ..., oo(n-iKi+1> {'элемен­тов, oo2(n_1) (п2)элементов, оо" 1)элементов. Этот результат очень удобно представлять наглядно с помощью таблицы умножения, под­вешенной за вершину угла.

Читать таблицу надо так.

Например, 7пространство содержит оо' Оэлементов, оо13 1элементов, оо15 2элементов, оо16 Зэлементов, оо15 4элементов, оо1а бэлементов, оо' бэлементов. *

§ 6. Многообразия и формы

Представим ситуацию Ck,k+i наглядно на фиг. 1, указывая при этом и «число» входящих в ситуацию элементов.

1    со1"1 оо5(1-2) оо3(1-3> . . . oott-W-i+D ooid-i) oo(i+i)(l-i-l) , .. с»'-1 1

kk + lFk + 2 k + 3...   k + i—1     k + i k + i +1 ...    k + l-1 k + l

Фиг. 1.

Отметим в этой ситуации совокупность ooW-O (А + г')элементов, которую назовём многообразием и обозначим символом

МІ,к+1 = [к, k + i, k + І].

Число і (1-і) назовём ступенью многообразия. При г'=1 и і—1—1 многообразие будем называть формой 1—1 ступени и обозначать так:

+    Н/]эФм+!)   [k,k + l — 1, к + 1] = Фк_к+1.

Ф*,ь+і будем называть нижней, Ф&.д+і в е р хн ей формой ситуа­ции Ск,к+1.

Подсчёт   всех   ситуаций,   принципов   дуальности, многообразий

и форм «пространства ясен из таблицы 1 (стр. 158).

гг Ґ (п + 2) (п + 3)

Іаким образом, в «пространстве имеется --—■—- ситуаций,

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

Д Гордевский - Аффиннопараллельные поверхности

Д Гордевский - Классификация принципов дуальности и дезарговых конфигураций в многомерном проективном пространстве

Д Гордевский - Аксиомы инцидентности многомерной проективной геометрии