В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

В.П.Лавренчук, П.П.Настасієв, О.В.Мартинюк, О.С.Кондур

Вища математика

Загальний курс

Частина I

Лінійна алгебра й аналітична геометрія

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів

Чернівці Книги - ХХІ 2010

ББК 22.11я73 Л 135

УДК 51(075.8)

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів (лист про надання грифу №1.4/18-Г-239 від 28.01.08 р.)

Рецензенти:

Євтухов В.М., доктор фізико-математичних наук, професор, завіду­вач кафедри диференціальних рівнянь Одеського національного університету ім. 1.1.Мечникова,

Іванчов М.І., доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного універси­тету імені Івана Франка,

Ільків В.С., доктор фізико-математичних наук, професор кафедри обчислювальної математики та програмування НУ „Львівська політехніка",

Никифорчин О.Р., кандидат фізико-математичних наук, доцент, завідувач кафедри алгебри та геометрії Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника.

Лавренчук В.П., Настасієв П.П., Мартинюк О.В., Кондур О.С.

Л 135 Вища математика. Загальний курс. Частина 1. Лінійна алгебра й аналітична геометрія: Навчальний посібник. - Чернівці: Книги - ХХІ, 2010. - 319 с.

ISBN 978- 966- 2147- 72- 8

Посібник написаний у відповідності з програмою курсу вищої математики для нематематичних спеціальностей вищих навчальних закладів. Матеріал викладено строго і доступно. У кожному розділі курсу наведено велику кількість прикладів, які ілюструють теоретичний матеріал, а також багато задач і вправ для самостійної роботи.

Перша частина посібника містить такі розділи: елементи векторної та лінійної алгебри, аналітичну геометрію на площині та в просторі, а також елементи математичного програмування.

Для студентів напрямів: біологія, хімія, географія, туризм, землевпорядкування та кадастр, економічні та інженерно-економічні.

ББК 22.11я73

ISBN 978- 966- 2147- 72- 8 © Лавренчук В.П., Настасієв П.П.,

Мартинюк О.В., Кондур О.С., 2010

Передмова

У процесі історичного розвитку взаємозв'язок математики з іншими науками був неоднаковим. Одні науки систематично і ґрунтовно використовували математичні методи, інші - лише поверхнево. Істотний вплив на глибину та характер цих взаємо­зв'язків мали рівень розвитку математичного апарату і ступінь зрілості тієї науки, в межах якої передбачалося застосування математики. Останнє означає досягнення наукою відповідно­го рівня накопичення і систематизації знань про об'єкти, які вивчаються, можливість опису їхніх основних характеристик і властивостей на мові математичних понять і співвідношень або, як тепер прийнято говорити, можливість побудови матема­тичної моделі об'єкту, що досліджується. Математична модель ґрунтується на деякому спрощенні та ідеалізації й тому ніколи не буває тотожною з розглядуваним об'єктом, не передає всіх його властивостей і особливостей, але є його приблизним відо­браженням. Однак, саме завдяки тому, що вдається замінити реальний об'єкт його моделлю, з'являється можливість мате­матичного формулювання задачі, вивчення і використання для аналізу його властивостей відповідного математичного апара­ту. Цей апарат не залежить від конкретної природи об'єкту і тому дозволяє математично описати широке коло фактів і спо­стережень, провести їхній детальний кількісний аналіз, перед­бачити поведінку об'єкту в різних умовах, тобто зпрогнозувати результати майбутніх спостережень.

Загальновідомо, що математичні моделі давно і з успіхом використовуються в механіці, фізиці та астрономії. У сучасний період математичні методи знайшли широке застосування та­кож у біології, хімії, географії, економіці та інших науках.

Посібник охоплює матеріал з курсу вищої математики для студентів, які навчаються у вищих навчальних закладах за тех­нічними, економічними, біологічними, хімічними та географіч­ними спеціальностями. Значна увага в ньому приділяється не лише формулюванню і вивченню необхідних математичних по­нять і фактів, але й побудові математичних моделей тих про­цесів, які досліджуються.

Основу посібника склали курси лекцій з вищої матема-

3тики, що читалися авторами протягом багатьох років сту­дентам вказаних спеціальностей Чернівецького національно­го університету, Чернівецького торговельно-економічного ін­ституту Київського національного торговельно-економічного університету, Прикарпатського національного університету.

Кожний розділ посібника поділено на параграфи і пунк­ти, в яких у логічній послідовності вводяться поняття і фак­ти курсу вищої математики. Автори вважали за доцільне роз­глядати доведення лише тих теорем, доведення яких є типо­вими і повчальними для того чи іншого розділу вищої мате­матики, відображає його основні ідеологічні засади і служить поглибленому вивченню. Крім того, всі теоретичні положен­ня курсу ілюструються прикладами, які полегшують засвоєн­ня матеріалу. Значна увага авторами приділяється формуван­ню у студентів вмінь і навичок складання математичних моде­лей в економічних, біологічних, фізичних, хімічних та геогра­фічних науках та описанню і алгоритмізації методів їхнього розв'язування. Ми вважаємо, що це є одним із найголовніших завдань вивчення курсу вищої математики у вузах студентами нематематичних спеціальностей. Кожний параграф посібника завершується вправами, які пропонуються для розв'язування в аудиторії або для самостійної роботи. Тому його можна ви­користовувати і як збірник задач і вправ.

У першій частині посібника викладено достатньо повно ма­теріал, що стосується теорії множин, дійсних чисел, різних систем координат на площині і в просторі, основ лінійної та векторної алгебри, аналітичної геометрії на площині і в про­сторі. Крім того, розглянуто елементи лінійного програмуван­ня, включаючи питання двоїстості та транспортну задачу.

Короткий виклад теоретичного матеріалу та описання ал­горитмів розв'язування задач, разом з наведеними прикладами дають можливість кожному, хто буде ним користуватися, опа­нувати програмний матеріал і навчитися його застосовувати. При цьому автори звертали велику увагу на те, щоб мова посіб­ника була лаконічною, основні факти і твердження подавались просто й зрозуміло, і в той же час строго математично.

4

Розділ 1

Деякі питання теорії множин. Декартові

координати на прямій, площині та в просторі. Полярна та сферична системи координат

У цьому розділі розглянемо деякі поняття теорії множин, комбінаторики, математичної логіки, дійсних чисел, поняття декартових координат на прямій, площині та в просторі, а та­кож познайомимося з полярною, циліндричною та сферичною системами координат.

§1. Основні поняття теорії множин та математичної логіки

1.1. Множини та дії над ними. Сукупність, об'єднання, система, набір об'єктів певної природи називається множи­ною. При цьому треба чітко окреслити клас всіх об'єктів, що розглядаються, який називається універсальною мно­жиною. Об'єкти, з яких складається множина, називаються її елементами або точками. Множини бувають скінченними і нескінченними, що визначається кількістю їхніх елементів. Множина, яка не містить жодного елемента, називається по­рожньою і позначається символом 0. Ця множина вважається скінченною. Множини найчастіше позначають великими літе­рами латинського алфавіту А, В, С, X, У, Z, а їхні еле­менти - малими а, Ь, с, х, у, г. Якщо х - елемент множини X, то пишуть х Є X (х належить X). Якщо х не є елементом множини X, то пишуть х Є X або хЄX (х не належить X).

Множина X, яка складається з деяких елементів множи­ни У, називається підмножиною множини У. Записують цей факт так: X С У або У З X (X міститься в У або У містить X). Вважають, що 0 С X для довільної множини X, X С X і X С и, де и - універсальна множина. Символи Є, С називають відповідно знаками належності і включення.

Якщо множини X і У складаються з одних і тих самих елементів, то кажуть, що вони збігаються і пишуть X = У, що рівносильно включенням X С У і У С X.

5

Множина, елементами якої є числа, називається числовою множиною. Зокрема, проміжки числової осі є числовими мно­жинами.

Для описання множини, утвореної з будь-яких елементів, користуватимемося двома способами.

Для довільних об'єктів аі, а2, ..ап множину з цих об'єктів позначатимемо символом {аі, а2,..., ап}, тобто перераховуючи всі її елементи. Наприклад, X = {а,Ь,с,й}, У = {2, 5, 7,10}. Інший спосіб задання полягає в описанні спільної властивості об'єктів, з яких утворюємо множину: А = {х : Р(х)}. Напри­клад, А = {х Є К : 2 < х < 7} - множина всіх дійсних чисел, які задовольняють нерівність 2 < х < 7; В = {х Є К : х2 9 < 0} - сукупність розв'язків нерівності х2 9 < 0, тобто множина точок відрізка [—3; 3]; С = {х Є К : х2 3х + 2 = 0} є сукуп­ністю коренів рівняння х2 3х + 2 = 0, тобто це множина з двох елементів 1 і 2.

Основними числовими множинами є такі множини:

1) натуральних чисел N = {1, 2,... ,п,...};

2) цілих чисел Z = {..., —2, —1, 0,1, 2,...};

3) раціональних чисел 0> = : т Є %,п Є тобто множина 0> складається з усіх звичайних дробів;

4) дійсних чисел К = {а0, а1а2 ... : а0 Є ак Є {0,1,9}, к Є тобто множина К складається з усіх нескінченних де­сяткових дробів. Для них правильні співвідношення N С % С

С К.

Нехай а і Ь - дійсні числа, причому а < Ь. Використовува­тимемо такі позначення:

Є К : а < х < Ь} = [а; Ь];

Є К : а < х } = [а; Ь);

Є К : а < х} = [а; +ос);

Є К : х < Ь} = (—о; Ь];

К : а < х < Ь} = (а; Ь];

К : а < х < Ь} = (а; Ь);

К : а < х} = (а; +о );

К : х < Ь} = (—о ; Ь).

Ці множини називаються проміжками, причому [а; Ь] на­зивають відрізком або сегментом, [а; Ь), (а; Ь], [а;+оо) і (—о; Ь] - напівінтервалами, а (а; Ь), (а;+оо), (—о; Ь) - ін­тервалами. Проміжки [а; Ь], (а; Ь], [а; Ь), (а; Ь) називають об-

еженими; а і Ь - їхніми кінцями. Решту проміжків назива­ють необмеженими.

Над множинами можна виконувати такі дії: об'єднання, пе­реріз, доповнення, різниця, декартів добуток.

Об'єднанням А и В двох множин А і В називають мно­жину, елементи якої належать хоча б одній з цих множин.

и

и

Аналогічно, об'єднанням кількох множин Аі, А2, Ап на­зивається множина С усіх тих і тільки тих елементів, які на­лежать хоча б одній з цих множин: С = А і и А2 и ... и Ап або

п

С = и Аі.

і=1

Перерізом множин А і В на­зивається множина, елементи якої належать обом цим множинам і позначається вона А В.

Перерізом кількох множин Аі, А2, Ап називається мно­жина С усіх їх спільних елементів і позначається так: С =

п

А1 П А2 П ... П Ап або С = П Аі.

і=1

Доповнення множини А - це така множина А, елементами якої є лише ті елементи відповідної універсальної множини и, що не належать А.

Різниця множин А і В - мно­жина А \ В, яка дорівнює А П В, тобто складається з тих елементів множини А, що не належать В.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія