В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 10

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Відповіді

1. 1) 11; 2) 4аЬ; 3) -1; 4) -12; 5) 0; 6) 2а3; 7) 87. 2. 1) 12; 2) х> 3;

13

3) -1 < х < 7; 4) хі = -6, Х2 = 2; 5) хі = 3, Х2 = 5; 6) хі = 3, х2 = -1, х3 = -3; 7) -6 < х < -4. 3. 1) -60; 2) 180; 3) 0; 4) 0;

5) -28; 6) -70; 7) 640.

39

§2. Системи лінійних рівнянь

Система лінійних рівнянь має вигляд

( ацхі + аі2х2 + ... + аіп хп = Ь\, І    ахі + а22х2 + ... +     хп = Ь2,

I,  атіхі + ат2х2 + ... + атпхп — Ьт.

Тут хі, х2,..., хп - нєвідомі, які треба знайти; - сталі, які називають коефіцієнтами системи, і є {1,т}, і Є {1,п} (перший індекс коефіцієнта означає номер рівняння, у якому знаходиться цей коефіцієнт, а другий індекс - номер невідомо­го, на який множимо цей коефіцієнт); Ьі, Ь2, Ьт - сталі, які називаються вільними членами.

Розв'язком системи (9) називають будь-яку сукупність чи­сел (сні; «2;...; ап), яка при підстановці її в систему замість від­повідних невідомих хі , х2, . . ., хп перетворює всі рівняння си­стеми в правильні рівності.

Систему (9) називають сумісною, якщо вона має принайм­ні один розв'язок, і несумісною, якщо вона не має розв'язків. Якщо сумісна система має тільки один розв'язок, то її на­зивають визначеною, а якщо більше одного розв'язку, то невизначеною.

Систему (9) називають однорідною, якщо всі вільні чле­ни дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо принаймні один з вільних членів не дорівнює нулю. Очевидно, що однорідна система завжди сумісна, оскільки має розв'язок хі = 0, х2 = 0, ... ,хп = 0, який називають нульовим або тривіальним.

Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильни­ми або еквівалентними, якщо вони сумісні й мають одні й ті самі розв'язки або якщо вони несумісні. За допомогою елемен­тарних перетворень систему (9) можна звести до еквівалентної системи. Елементарними називають такі перетворення:

1) викреслювання рівняння 0 хі +0 х2 + ... + 0 хп = 0 -нульового рядка;

2) перестановка рівнянь або доданків     х3 у рівняннях;

40

3) додавання до обох частин одного рівняння відповідно обох частин іншого рівняння цієї системи, помноженого на до­вільне число;

4) відкидання рівнянь, які є лінійними комбінаціями інших рівнянь системи, тобто рівнянь, що є алгебраїчною сумою ін­ших рівнянь з деякими коефіцієнтами.

Розглянемо деякі методи розв'язування лінійних систем.

2.1. Системи п лінійних рівнянь з п невідомими. Правило Крамера. Розглянемо систему п лінійних рівнянь з п невідомими

(1\\Х\ + й\2Х2 + ... + (і\п хп = Ьі, й2\Х\ + а22Х2 + ... + й2п Хп = Ь2,

апіхі + ап2Х2 + ... + аппХп = Ьп. Введемо позначення

аіп а2п

(10)

А,

 

 

аіі

аі2 ...

 

А =

 

а22 . . .

 

 

 

ап2   . . .

аіі

 

Ьі

 

а

. . .    а23

Ь2

 

апі

. . .    ап] — ]

Ьп

ап 3

апп

а2п

апп

І Є {1,...,п}.

Визначник А називається головним визначником си­стеми (10). Визначники А3, І Є {1,...,п}, одержуються з визначника А заміною І-го стовпчика стовпчиком з вільних членів.

Теорема 1 (правило Крамера). Якщо визначник А си­стеми п лінійних рівнянь з п невідомими (10) не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв'язок, що визначається формулами

41

А Нехай (х\; х2] хп) розв'язок системи (10). Для того щоб знайти його складову ху, домножимо перше рівняння на Лі у, друге - на Л2у і так далі, п-е рівняння - на Лпу, де Л, Л2],

Лщ - алгебраїчні доповнення елементів і-го стовпчика, і додамо ці рівняння. Тоді одержимо вираз

цЛіу+а2\Л2у+„+а,пт,і і+(аі2Лі,-22Л2у+^+ап2Лпу 2+

+ ■ ■ ■+(аіу Ліз2і     +^+апі Лпу у+„+(аіпЛіз 2пЛ+■■■+

п = ЬіЛіз + Ь2     + ■■■ + Ьп     (12)

Коефіцієнт при невідомому ху є сумою добутків елементів і-го стовпчика визначника А на відповідні їм алгебраїчні доповнен­ня і, згідно з властивістю 4 визначників, дорівнює визначнику А. Коефіцієнти при всіх інших невідомих є сумами добутків елементів усіх стовпчиків, крім і-го, на алгебраїчні доповнен­ня елементів і-го стовпчика і, у відповідності з властивістю 4 визначників, дорівнюють нулю. Вираз у правій частині (12) є Аз, а тому (12) набуває вигляду

А х3 з,   і є{1,^,п}, (13)

звідки випливають рівності (11), які називаються формулами Крамера.

Отже, ми довели, що коли (хі; х2; ■ хп) є розв'язком систе­ми (10), то числа ху, і Є {1,^„,п}, визначаються формулами

(11).

Навпаки, сукупність чисел ху, і Є {!,■■■,п}, які визнача­ються формулами (11), є розв'язком системи (10). Справді, під­ставляючи ці ху, і Є {1, ■ ■ ■ ,п}, у ліву частину к-го рівняння, к Є {1, ■■■,п}, системи (10), згідно з властивістю 4 визначника, одержимо

п А'        1    п п 1    п п

£_^акз А = А ^ акЗА\1 ЬзЛзЗ = А ^ Ьз ^ ^3 =

= АЬкА = Ьк,   к є{1,^;п}^ ►

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія