В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

42

Приклад 1. Розв'язати систему

2хі + 3x2 = 7, 4хі 5x2 = 2.

а Маємо

Д : 2 3

45 -10 - 12 = -22.

Оскільки А = 0, то система має єдиний розв'язок, який можна знай­ти за формулами Крамера. Знайдемо Аі і А2:

Ді 7 3

25

—35 — 6 = —41; Д2 27 42 4 - 28 = -24.

Тоді, згідно з формулами (11),

= Д1 =41 = Д2 = 12 Х1 = ДГ=22;  Х2 = Д~ = її.

Відповідь:

(-;

12

22' 11

Приклад 2. Розв'язати систему

хі + 2x2 + хз = 4, 3хі 5x2 + 3хз = 1, 2хі + 7x2 — хз =8.

а Знайдемо визначник системи

Д

1 2 1

3   —5 3

2 7 1 5 + 21 + 12 + 10 — 21 + 6 = 33.

Оскільки визначник системи не дорівнює нулю, то система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами Крамера:

 

4

2

1

 

 

 

Ді =

1

—5

3

= 20 + 7 + 48 + 40

— 84 + 2 =

33;

 

8

7

—1

 

 

 

 

1

4

1

 

 

 

Д2 =

3

1

3

= —1 + 24 + 24 — 2 —

24 + 12 =

33;

 

2

8

—1

 

 

 

 

1

2

4

 

 

 

Дз =

3

—5

1

= —40 + 84 + 4 + 40

— 7 — 48 =

33;

 

2

7

8

 

 

 

43і

хі = —— = — = 1; х2 = —— = = 1; х3 = —— = = 1. 1     Д     33      '    2     Д     33      '    3     Д 33

Відповідь: (1; 1; 1). ►

Істотним недоліком розв'язування систем п лінійних рів­нянь з п невідомими за формулами Крамера є велика трудо­місткість при обчисленні визначників. Тому цей метод засто­совувати на практиці для розв'язування реальних прикладних задач не завжди доцільно. Значно швидше можна розв'язати систему лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (методом Жордана-Гаусса), який буде розглянуто пізніше.

2.2. Однорідна система лінійних рівнянь. Розгля­немо систему рівнянь вигляду

( а\\х\ + аі2х2 + ... + а\пхп = 0, І  ахі + а22х2 + ... + а2пхп = 0, ( )

^ апіхі + ап2х2 + ... + аппхп = 0,

яка називається однорідною. Очевидно, що система (14) завжди має нульовий (тривіальний) розв'язок (0; 0; . . . ;0). З'ясуємо, коли ця система має ненульові (нетривіальні) розв'язки.

Теорема 2. Якщо визначник Д однорідної системи (14) не дорівнює нулю, то вона має лише тривіальний розв'язок.

А Оскільки всі , і Є {1,...,п}, дорівнюють нулю, бо містять нульовий стовпчик, то згідно з теоремою 1 (формули (11)) х3 =0, і Є {1,...,п}. ►

Якщо ж система (14) має нетривіальний розв'язок, то її визначник Д дорівнює нулю. Це випливає з того, що коли б Д = 0, то згідно з теоремою 2, єдиним розв'язком системи (14) був би нульовий. Отже, ненульові розв'язки система (14) має тоді й тільки тоді, коли Д = 0.

Приклад 3. Розв'язати систему

хі — х2 + 2хз = 0, 2хі + х2 — хз = 0, 3хі 2х2 + хз = 0.

44а Оскільки

 

1

-1

2

д =

2

1

-1

 

3

-2

1

1 - 8 + 3 - 6 - 2 + 2 = -6 = 0,

то система має лише єдиний розв'язок (0;0;0). Приклад 4. Розв'язати систему

і + 3x2 — хз =0, і + 6x2 2хз = 0, 3хі — Х2 + 2хз = 0.

а Маємо, що Д

0, бо перший і другий ряд-

2 3 -1 4    6 -2

3 -1 2

ки пропорційні. Тому система має ненульові розв'язки. Знайдемо ці розв'язки. Для цього запишемо систему у вигляді

Г 2хі + 3ж2 - хз =0, 1  3хі - Х2 + 2хз = 0.

Ми відкинули друге рівняння, оскільки воно одержується з першого множенням обох його частин на 2. Маємо

2хі + 3х2 = хз, 3хі - х2 = - 2хз.

Тоді, згідно з формулами Крамера,

= ді

Х1 = А"

х2

хз

3

- 2хз -1

І   о       о І

23 3

 

2   хз ІІ

д2 =

3 -2хз І

д

2 3

 

 

3-

 

з + 6x3 -2-9

-4хз - 3хз -2-9

11 хз;

7

її хз.

хз П

і, тобто хз =       тоді хі = -Ы, х2 = 7і, де і - довільне

Нехай

її

дійсне число.

Отже, загальним розв'язком системи є хі = 5і, х2 = 7і, хз 11*, і Є М. ►

45

Приклад 5. Співіснування бактерій. Три види бактерій співіснують в пробірці й споживають три субстрати. Відомо, що в середньому бактерія і-го виду споживає в день аіз одиниць і-го суб­страту, {і, і} С {1, 2, 3}, а кожного дня в пробірку подають одини­ць і-го субстрату. Знайти кількість популяцій трьох видів бактерій, які можуть існувати у даному середовищі, якщо вважати, що бак­терії споживають весь запас субстратів.

Розв'язати задачу для випадку, коли матриця А = (а^) має вигляд

111

А = І   12 3

1   3 5

Ьі \      / 15000 а матриця субстратів Н = 1   Ь2   І = 1 30000

Ь3 /      \ 45000 а Позначимо кількість бактерій кожного з трьох видів відповід­но через ж і, Ж2, жз. Тоді матимемо таку систему

ацжі + аі2Ж2 + аізжз = Ьі, ажі + а22Ж2 + ажз = Ь2, азіжі + аз2Ж2 + аззжз = Ьз.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія