В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 12

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Для нашого конкретного випадку - це система вигляду

ж і + Ж2 + жз = 15000, жі + 2ж2 + 3жз = 30000, жі + 3ж2 + 5жз = 45000.

Якщо від другого й третього рівнянь відняти перше, то одержимо рівносильну систему

жі + ж2 + жз = 15000, ж2 + 2жз = 15000, 2ж2 + 4жз = 30000,

або

жі + ж2 + жз = 15000, ж2 + 2жз = 15000, 0 = 0.

15000 - ж2             15000 - ж2 Тоді одержуємо, що жі = -2-        і жз = -2-, де ж2

- довільне. Кількість бактерій повинна бути невід'ємною, а тому 0 < ж2 < 15000, 0 < жі < 7500, 0 < жз < 7500.

46

Загальна кількість співіснуючих популяцій бактерій складає 15000, а кількість бактерій кожного з видів дорівнює відповідно х\ = хз і Х2 = 15000 — х\, якщо вони споживають всі субстрати. ►

Вправи

1)

3)

2)

1. Розв'язати систему рівнянь 3х = 12, 2х + 7у = 81; 2х 4у + 9г = 28, 7х + 3у — 6г = —1 7х + 9у — 9г = 5;

х — ул/3 = 1, х%/5 = \/3;

у + г

4)

5)

+ 5г = 0,

х + 2у — 3г

0;

6)

— у + г = —2 х + 2у + х — 2г = 3; 2х + у — г = 0, х + 2у + г = 0, 2х — у + 3г = 0;

1,

7) 9)

г = 0,

8)

х + 4у = 13, 4х + 2у = 10;

х—у—

х + 4у + 2г = 0, 3х + 7у + 3г = 0; х + у + г = 1, 2х + 3у + 4г = 3, 4х + 9у + 16г = 11. 2. Визначити, при яких значеннях а і Ь система рівнянь

3х 6х ау = 4у = 1,

Ь

не має розв'язків;  3)  має безліч 3. При яких значеннях к однорідна система |

1)  має єдиний розв'язок; 2) розв'язків?

кх + у = 0, х + ку = 0

має ненульові розв'язки?

4. Визначити, для яких значеннях а і Ь система рівнянь

3х 5х

2х

■ 2у + г =

■ 8у + 9г

у + аг =

Ь, 3,

1

1) має єдиний розв'язок; 2) невизначена; 3) несумісна?

( 3х + г = 0, 5. Для яких значень а система <   ах — 14у + 15г = 0,

[ х + 2у — 3г = 0

має лише нульовий розв'язок?

47

6. Яка з поданих нижче систем рівнянь має нетривіальні розв'язки:

г 3       7       0 і жі + Х2 + хз =0,

,  І 3хі - 7x2 =0, ,1

1}      X! - 4х2=0-       2) 1   Хі - Х2 + Х3 =0,

7. Знайти всі розв'язки системи

Г     хі + Х2 - хз = 6, 1  3хі + 6х2 - 3хз = 16.

8. Розв'язати систему:

{2хі + Х2 - 2хз = 1, і    3х - у + = 7,

хі - 3х2 + 4х3 = 2,      2) 5х + 3у - = -1, 3хі + Х2 - хз = 3; І     х + у + 2г = 9.

9. Знайти кількість популяцій трьох видів бактерій, які можуть співіснувати у даному середовищі, якщо вважати, що бактерії спо­живають весь даний запас субстратів, у випадку, коли матриці А та Н мають вигляд:

1 1 1 20000

А = І   1   2   3   І , Н = І   30000   І .

1 3 5 40000

Відповіді

1. 1) (16; 7); 2) х = 1 + у^3, у Є М; 3) х = 2, у = 3, г = 4; 4) несумісна; 5) х = -2і, у = 7і, 2 = 4і, і Є М; 6) х = у = 2 = 0; 7) х = 2і, у = -3і, 2 = 5і, і Є М; 8) (1; 3); 9) (1; -1; 1). 2. 1) а = -2; 2) а = -2, Ь = 2; 3) а = -2, Ь = 2. 3. к = ±1. 4. Якщо а =

-3, то система має єдиний розв'язок; при а = -3; Ь =3 система

несумісна; при а = -3, Ь = 1/3 система має безліч розв'язків. 5. а =

20 2 5. 6. Система 1). 7. хі = +х3, х2 = -3, х3 Є М. 8. 1) (1; 1; 1);

2) (1; 2; 3). 9. 1) хі = 10000+хз, Х2 = 10000-2хз, 0 < х3 < 5000.

48

§3. Матриці

3.l. Основні поняття про матриці. Таблиця з чисел aij, i Є {l,.. .,m}, j Є {l,.. .,n}, вигляду

a12 ■ ■ a1n a22   ■ ■ a2n

am2 ■ ■ amn

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія