В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 13

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

називається матрицею порядку (розміру) m х n.

При цьому числа aij, i Є {l,..., m}, j Є {l,... ,n}, назива­ються елементами матриці. Елементи з однаковими першими індексами утворюють рядки, а з однаковими другими індекса­ми - стовпчики матриці. Якщо m = n, то матрицю називають квадратною n-го порядку. Якщо ж m = n, то - прямокут­ною.

У випадку, коли n = l матрицю A порядку m х l нази­вають одностовпчиковою або матрицею-стовпчиком, або вектором-стовпчиком

a11 a21

,

am1

а при m = l, тобто матрицю порядку l х n називають одно­рядковою, або матрицею-рядком, або вектором-рядком

a11   a12   . . .   a1n .

Множина елементів a11, a22, ■ ■ ■, ann квадратної матриці n-го порядку утворює головну дiагoналЬl а множина елементів aln, a2,n-b)n-2l ■ ■ anl - по6ічну дiагoналь. Якщо у квад­ратній матриці всі елементи, крім елементів головної діагоналі дорівнюють нулю, то таку матрицю називають діагональною

/

b1

0 ...

0 \

 

0

b2 . . .

0

V

0

0 ...

bn

 

 

49

 

A

a11 a21

am1

У випадку, коли Ь\ = Ь2 = = Ьп = 1, діагональну матрицю називають одиничною і позначають її буквою Е або I:

1

Е

0

01

0

0 0 1

Матрицю, у якої всі елементи дорівнюють нулю, називають нульовою або нуль-матрицею

0 0

00

0

00 0

Якщо маємо квадратну матрицю п-го порядку

А а2і а22

апі ап2

а2п

апп

то для неї існує визначник, який позначатимемо символом \А\ або йеЬ А. У випадку, коли \ А\ = 0, матриця називається неви-родженою, а при \А\ =0 - виродженою.

Приклад 1. З'ясувати, чи є виродженою матриця:

1) А (4 6); 2) в=0 5)

а Маємоо

1) А 23 46 12  12 = 0.

Отже, матриця А вироджена.

2) \Б\

23

45 10 - 12 = -2 = 0,

а це означає, що матриця В невироджена. ►

Транспонованою щодо матриці А називають матрицю Ат, утворену з матриці А заміною рядків однаковими за но­мером стовпчиками. Матрицю А називають симетричною,

0

0

0

50якщо А = Ат, тобто якщо aij = dji для всіх i,j. Квадрат­ну матрицю називають трикутною, якщо всі її елементи aij, С {!,■■■ ,n}, розміщені під головною діагоналлю (i > j) або над головною діагоналлю (i < j), дорівнюють нулю:

/ a11   al2 аіз 0    a22 а

0     0 0

a1n a2n або a11 a21

ann

0

a22 0 0

\ ani   an2 am

ann

3.2. Дії над матрицями. Матриці

A a11 a12 a21 a22

am1 am2 a1n a2n

amn

B

b11 b12 b21 b22

bm1 bm2

m х n l, . . . , m

b1n b2n

bmn

одного й того самого розміру т х п називають рівними, тобто А = В, якщо     =    , і Є{1,.. .,т}, і є{1,.. .,п}.

Сумою (різницею) двох матриць А і В одного й того са­мого розміру т х п називають матрицю С, елементи якої дорів­нюють сумам (різницям) відповідних елементів і Ьу, тобто С = А + В = А - В), де = + , (в^ = - ), і Є {1,...,т}, і Є {1,...,п}.

Добутком матриці А на число Л називають матрицю ЛА, елементи якої дорівнюють добуткам всіх елементів матриці А на число Л, тобто

 

/ Лан

Лаі2

. . .     ЛаЫ \

 

Ла

Ла22

. .. ЛС2п

 

 

 

. . .    Лamn /

і

Б1

Операції множення матриці на число і додавання матриць ма­ють такі властивості:

а) А + В = В + А (комутативний закон);

б) А+(В+С) = (А+В)+С (асоціативний закон додавання);

в) (Л+/х)А = ЛА+цА і Л(А+В) = ЛА+ЛВ (дистрибутивний закон);

г) А + 0 = А,

де А, В, С і 0 матриці однакових розмірів, Л і ц - сталі. Розглянемо дві матриці

 

/ аіі

аі2

. . . аіп

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія