В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 14

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

\

 

( Ьіі

Ьі2

... Ьік\

А=

 

а22

. . . а2п

 

і В =

 

Ь22

 

 

 

ат2

. . . атп

)

 

V Ьпі

Ьп2

. . .    Ьпк )

де число стовпчиків матриці А дорівнює числу рядків матриці В.

Добутком цих двох матриць А і В називають третю матрицю С, елементи , і Є {1, ■ ■ ■ ,т}, і Є {1, ■ ■ ■ ,к}, якої дорівнюють сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи і-го стовпчика матриці В, тобто С = А В, якщо Су = сціЬу + (іі2Ь2і + ■ ■ ■ + (ЦпЬпі для всіх і та і

Приклад 2. Знайти добуток матриць А В = І   2 1

22

а Маємо

1+1 1+1

АВ =

2+0 2+1 (311)

2+1 2+1

1+0 1+1

і

Наступний приклад показує, що добуток матриць не володіє властивістю комутативності, тобто АВ = ВА і, крім того, до­буток матриць може дорівнювати нулю навіть у тому випадку, коли жодна з них не є нульовою матрицею.

52

Приклад 3. Знайти АВ і В А, коли

А

( 3 з ) ' В - ( -1 )

а Згідно з правилом множення матриць

АВ

зз зз - -

(3 1 + 3(-1)   3 1 + ^ 3 • 1 + 3(-1)   3 1 + 3(-1)

ВА

11 11

3(-1)

3(-1) /

)(

33 33

1 • 3 + 1 • 3 (-1) 3 + (-1) 3

°);

( 6   6 3 = у -6 -6 )

_ 1 3+1 з

V (-1) з + (-і) з

тобто АВ = В А. ►

Одинична матриця при множенні матриць має властивість: для довільної квадратної матриці А правильна рівність

АЕ - ЕА - А.

Доводиться, що коли А і В дві квадратні матриці одного й того самого порядку з визначниками \А\ і |В|, то визначник матриці С = АВ дорівнює добутку визначників співмножни­ків, тобто \С\ = \ А\ \В\.

Добуток матриць має властивості:

1) (А + В)С = АС + ВС;

2) С(А + В) = СА + СВ;

3) А(ВС) = (АВ)С;

4) (АВ)Т = ВтАт.

3.3. Обернена матриця.Нехай А - квадратна матриця, визначник якої \А\ =0.

Оберненою до матриці А називається матриця А-1, яка задовольняє співвідношення А-1 А = АА-1 = Е, де Е - оди­нична матриця.

53

Доводиться, що коли матриця А квадратна і невироджена, то обернена матриця А-1 існує та єдина. Знаходиться А-1 за формулою

А-1 1 ( А11 А21

А12 А22

Ап2

\ А1п А2п

(15)

Апп /

де - алгебраїчні доповнення  елементів      ,   {і, і} С

{1,..., п}, матриці А.

Приклад 5. Для метриці

А

1 2 0 3   2 1

012

знайти обернену матрицю А 1. а Маємо

А

120 321 012 4 - 1 - 12 = -9.

Оскільки \А\ = 0, то матриця А невироджена і, отже, для неї існує обернена.

Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів , {і, і} С {1, 2, 3}:

Аи = (-1)1+1

Азі = (-1)3+1 А22 = (-1)2+2 Аіз = (-1)1+3

А

21 12

20 21

10 02

32 01

зз

3; А21 = (-1)2+1

2; А12 = (-1)1+2

2; А32 = (-1)3+2

3; А23 = (-1)2+3

20 12

31 02

10 31

12 01 -4;

-6;

-1; -1;

(-1)

3+3

12 32

4.

54

Тоді згідно з формулою (15) маємо

А-1

1

- 9

3    -4 2 -6    2 -1 3    -1 -4

або

А-1

V

1

4

2

- 3

9

- 9

2

2

і

3

- 9

9

1

і

4

- 3

9

9

Наведемо деякі властивосгі оберненої матрицi.

Властивість 1. Визначник оберненої матриці дорівнює

оберненій величин визначника даної матрицї, тобто \А-1\ = 1

А' .

Властивість 2. Обернена матриця добутку квадратних матриць дорївнює добутку обернених матриць-множникїв, узятих у зворотному порядку, тобто (АВ)-1 = В-1 А-1.

< Справді, АВ(В-1А-1) = А(ВВ-1)А-1 = АЕА-1 = АА-1 = Е і (В-1А-1)АВ = В(АА-1)В-1 = ВЕВ-1 = ВВ-1 =

Е.

Отже, В-1 А-1 є оберненою матрицею для АВ. ► Властивість 3. Матриця, яка є транспонованою до обер­неної матрицї, дорївнює оберненїй матрицї до транспонова­ної, тобто (А-1)Т = (Ат

3.4. Матричний запис і матричний розв'язок си­стеми лінійних рівнянь. Нехай задано систему п лінійних алгебраїчних рівнянь із п невідомими

(1\\Х\ + й\2Х2 + . .. + (1\пХп = Ьі, 2\Х\ + Й22Х2 + ■ ■ ■ + й2иХи = Ь2,

апіХі + а„2Х2 + ■ ■■ + аппХп = Ьп.

(16)

55

Позначимо через А матрицю з коефіцієнтів при невідомих, через X - матрицю-стовпчик з невідомих і через В - матрицю-стовпчик із вільних членів:

А аіі аі2 а2і а22

аіп ап2 аіп ап2

апп

X

Хі

Х2 Хп

В

Ьі

Ь2 Ьп

Якщо скористатись правилом множення матриць і умовою рівності матриць, то систему (16) можна записати у вигляді

аіі аі2 а2і а22

аіп ап2 аіп ап2

Хі

Х2

Хп

Ьі

Ь2 Ьп

або

АХ = В.

(17)

Припустимо, що матриця А - невироджена, тобто \ А\ = 0, тоді існує обернена матриця А-1. Помножимо зліва обидві частини рівності (17) на А-1:

А-1 АХ = А-1В. Оскільки А-1А = Е, то остаточно дістанемо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія