В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 15

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

X = А-1В. (18)

Отже, матриця-стовпчик із невідомих дорівнює добутку оберненої матриці А-1 на матрицю-стовпчик вільних членів.

Рівність (17) називається матричним рівнянням або матричним записом системи (16), а (18) - матричним розв'язком цієї системи.

Приклад 6. Розв'язати за допомогою матричного методу си­стему

хі + 2x2 + хз = 1, і + Х2 + хз = -1, хі + 3x2 + хз = 2.

56а Маємо

А

121 211 131

X

Хі Х2

Хз

В

Знайдемо обернену матрицю А 1:

А

121 211 131

1 + 6 + 2 - 1 - 3 - 4=1;

Аіз =

1 1 3 1

2 1

11

21 13 -2; А21 = = -1; А22

= 5;   А23 = -

А 1=

21 31

11 11

12 13

= 1; Азі 0; А32 = = -1;  Азз =

21 11

11 21

12 21

-2   1 1

-1 0 1 5    -1 -3

Згідно з формулою (18) одержуємо

X

-2 1 1 -1   0 1

5    -1 -3

-2-1+2 -1 - 0+ 2 5+1-6

1; 1;

= -3;

тобто хі = —1, х2 = 1, хз = 0.^

Розв'язання систем лінійних рівнянь за допомогою матрич­ного методу ефективне тоді, коли ліва частина системи зали­шається незмінною, а змінюється лише стовпчик із вільних членів. Справді, замість того, щоб кожного разу розв'язувати нову систему, можна скористатись матричним методом, обчис­лити А-1, а потім за формулою (18) знаходити нові значення невідомих при кожному зміненому стовпчику з вільних членів.

3.5. Власні значення і власні вектори мат­риці.    Ненульовий    вектор-стовпчик (матриця-стовпчик)

1

1

0

57

Хі

Х2 називається власним вектором квадратної

матриці А п-го порядку, якщо існує таке число А - власне значення матриці А, що АХ = АХ або (А — АЕ)Х = 0.

Власні вектори знаходимо як розв'язки однорідної системи рівнянь (А — АЕ)Х = 0, яку можна записати в розгорнутому вигляді так:

іі - Х)Хі + аі2Х2 + ... + аіпХп = 0, аХі + (а22 - А)Х2 + ... + а2пХп = 0,

апіХі + ап2Х2 + ... + (апп - А)Хп = 0.

(19)

Ненульові розв'язки цієї системи існують, як зазначено ви­ще, тоді й тільки тоді, коли її визначник А — АЕ = 0, тобто

аіі - X     аі2

а

а22

апі ап2

аіп а2п 0.

(20)

Рівняння (20) називається характеристичним рівнян­ням матриці А. Розв'язавши характеристичне рівняння, от­римаємо власні значення матриці, а після цього із системи (19) для даних власних значень - її ненульові розв'язки, тобто влас­ні вектори.

Приклад 7. Знайти власні вектори і власні значення матриці

А

12 -41

а Складемо характеристичне рівняння матриці А

1 - X -1 2      4-X

0,   X2 - 5Х + 6 = 0.

Власні значення Хі = 2, Х2 = 3

X

58

Запишемо системи рівнянь, які аналогічні системі (19), для визначення власних векторів Хі і Х2.

Нехай Аі = 2. Тоді система має вигляд

Г хі - Х2 =0, \ 2хі + 2x2 = 0,

звідки випливає, що Х2 = хі. Якщо взяти хі = 1, то Х2 = —1 і тоді

вектор Хі = С ^   11 ^ , С Є М \ {0}, є власним вектором матриці А,

що відповідає власному значенню А і = 2. У випадку А2 =3 маємо систему

2Хі   Х2 = 0 1   о     і п    ;  Х2 = — 2хі,

тому Х2 = С 21 , С Є М \ {0}, є власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню А2 = 3.

Відповідь: Аі =2, А2 =3; Хі = С ( ^ ^, Х2 = С ( 1 ), С Є М \{0}. ►

3.6. Ранг матриці. Розглянемо прямокутну матрицю

а\2   ■ ■ ■   аік   ■ ■ ■   а\п \

а22     ^ ^ ^     а2к     ^ ^ ^ а2п ат2    ^ ^ ^    атк    ^ ^ ^    атп /

і виділимо в ній к довільних рядків і к довільних стовпчиків. Елементи, які розміщені на перетині виділених рядків і стовп­чиків, утворюють квадратну матрицю порядку к. Визначник цієї матриці називають мінором к-го порядку матриці А. Очевидно, що к < шіп(т,п). Наприклад, для матриці

/ 2    3    4    5 \ А = І  0   —2  3    1 )

0  2   2 4

/ аи

А

а

\ аті

59одним із мінорів третього порядку є визначник одним з мінорів другого порядку

2 3 4 0 -2 3 0    2 2

34 -2 3

Самі елементи матриці можна розглядати як мінори першо­го порядку. Деякі мінори матриці можуть дорівнювати нулю, інші - ні.

Рангом матриці називають найбільший порядок мінора даної матриці, який не дорівнює нулю, тобто натуральне число г називають рангом матриці А, якщо серед мінорів г-го поряд­ку цієї матриці є принаймні один відмінний від нуля, а всі мі-нори (г + 1)-го порядку і вищого дорівнюють нулю. Той факт, що натуральне число г є рангом матриці А, записують так: гапд(А) = г або г(А) = г.

При знаходженні рангу матриці використовують спеціальні прийоми, які базуються на елементарних перетвореннях мат­риць. До елементарних перетворень матриць належать:

1) множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпчика) на одне й те саме число, відмінне від нуля;

2) додавання до елементів будь-якого рядка (стовпчика) відповідних елементів іншого рядка (стовпчика), помножених на одне й те саме число;

3) переставляння місцями будь-яких двох рядків (стовпчи­ків);

4) дописування або викреслювання рядка (стовпчика), що повністю складається з нулів.

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо від однієї з них можна перейти до іншої за допомогою скінченного числа елементарних перетворень. Еквівалентні матриці, взагалі ка­жучи, не рівні, але вони мають однаковий ранг, що істотно використовується при обчисленні рангу матриці.

Приклад 8. Знайти ранг матриці

12 11 А = 0 111 110 0

а

60а Зведемо дану матрицю до еквiвалентної матриці, ранг якої знаходиться простіле.

Помноживши перший рядок на ( — 1) і додавши до третього ряд­ка, одержимо матрицю

1   2    1 1

Аі = 1  0    1     1 1

0 —1   —1 —1

У матриці Аі помножимо перший стовпчик по черзі на (—2), ( —1), ( — 1) і додамо відповідно до другого, третього і четвертого стовпчика, тоді Аі перейде в матрицю

1 0   0 0

А2 = 1   0    1      1 1 0   —1   —1 —1

Додавши другий рядок матриці А2 до третього рядка, отримаємо матрицю

1000

А3 = (  0   1   1 1

0000

Викреслимо третій рядок у матриці А3, тоді матимемо

1000

/ 1 0 0 0 \ V 0   1   1   1 )

М~ 1  0   1   1 1

Якщо помножити другий стовпчик на ( — 1) і додати спочатку до третього стовпчика, а потім до четвертого, то дістанемо матрицю

А = ^ 0   1   0   0 )

Викреслювання третього і четвертого стовпчиків дає матрицю

10

Аб=(0 ї)

Оскільки |Аб| 10 01 1 , то ранг матриці А дорівнює рангу

матриці Аб і дорівнює 2, тобто гапд(А) = гапд(Аб) = 2. ►

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія