В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 16

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

3.7. Метод Жордана-Гаусса послідовного ви­ключення змінних. Розв'язування систем лінійних рівнянь

61методом Крамера та за допомогою матричного методу (методу оберненої матриці) пов'язані з великою кількістю обчислень. Значно швидше можна розв'язати систему лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих, який називають методом Жордана-Гаусса. Розглянемо систему

(   а\\Х\ + аі2Х2 + ■ ■■ + аіпХп = Ьі,

I      аХі + а22Х2 + ■■■ + а2пХп = Ь2, (01ч

I,  ат1х1 + ат2х2 + ■ ■ ■ + атпхп — Ьт.

Нехай деякий коефіцієнт — 0. Назвемо його розв'я-зувальним (провідним). Рядок, якому належить розв'язу-вальний елемент, називатимемо розв'язувальним (провід­ним) рядком, а стовпчик, якому належить розв'язувальний елемент - розв'язувальним (провідним) стовпчиком.

Запишемо систему (21) у вигляді таблиці

Аі

А2

- - - Ап

Ао

аіі

аі2

аіп

Ьі

а

а22

а2п

Ь2

а і

а 2

- - - атп

 

Припустимо, що аіі = 0. Поділимо на нього всі елементи пер­шого рядка. Користуючись першим рядком, виключимо змінну Хі з решти рівнянь. Для цього помножимо перший рядок по черзі на —а2і, —а3і,...,—аті і додамо відповідно до другого, третього, ..., т-го рядка. Дістанемо таблицю

Аі

А2

- - - Ап

Ао

1

 

- - - аіп

Ьі

0

а22

а2п

Ь2

0

ат2

п

Ь'

Далі за розв'язувальний елемент візьмемо — 0 (якщо а^2 — 0, то міняємо місцями друге рівняння з якимось із на­ступних, щоб одержати рівносильну систему з      — 0) і з його

62допомогою виключимо, аналогічно як Х\, змінну х2 з решти рівнянь (дістанемо нулі в другому стовпчику під а'22)

Аі

А2

Аз

Ап

Ао

1 0 0

а'і2

1 0

а

а23

п"

а33

^ ^ а1п

■■■ а2п

а3п

ь'ї

Ь"

0

0

п"

(}"

тп

Ь"

т

Якщо під час перетворень одержимо рядок, який скла­дається з нулів, то його можна відкинути.

Продовжуємо процес далі. При цьому можливі такі ситуа­ції: 1) після деякого кроку дістанемо рядок, у якому всі еле­менти лівіше вертикальної риски дорівнюють нулю, а елемент правіше цієї риски не дорівнює нулю (всі коефіцієнти при змін­них деякого рівняння дорівнюють нулю, а вільний член від­мінний від нуля), тоді система несумісна; 2) такого рядка не дістанемо, то система сумісна.

У другому випадку матимемо таблицю

Аі

А2

А3

А

Ап

Ао

1

 

 

■■ С

Сіп

І'

0

1

 

■■ С2г

С2п

(І2

0

0

1

■■■ С3у

С3п

 

0

0

0

■■ 1

 

 

Якщо ранг відповідної системи г = п, то вона має єди­ний розв'язок. Щоб одержати цей розв'язок, необхідно в пе­редостаннє рівняння замість хп підставити його значення з останнього рівняння і знайти хпі т.д. Якщо г < п, то перші г змінні Х',Х2, ,хг виражаємо через решту змінних

63

У системі (22) змінні Х\, х2,-■ ,хг виражені через хг^\, хг^2, ■ ■ ■, хга- Такий розв'язок системи називається загальним розв'язком, змінні Хі, Х2, хг називаються базисними, змінні хг+і, хг+2, ■ ■ ■, хп - вільними Надаючи вільним змін­ним довільних значень, діставатимемо частинні розв'язки

Якщо вільним змінним надати нульових значень, то із си­стеми (22) одержимо значення базисних змінних

Одержаний розв'язок системи (21) називають базисним розв'язком^ Кількість базисних розв'язків не перевищує ■ Якщо один базисний розв'язок знайдено, то для відшукання іншого одну з небазисних змінних переводять у базисні, а від­повідну базисну - у небазиснь

Базисний розв'язок, у якого всі базисні змінні невід'ємні, називається допустимим базисним розв'язком^

Зручно здійснювати зведення системи (21) до базисної фор­ми

(  х1 +а1,т-|-1хт+1 + ' ' ' + а1пхп Ь1'

І х2 +а2+1хт+1 + + а2пхп Ь2' (оо)

I. хт + ат,т+1хт+1 + ^ ^ ^ + атпхп Ьт

за допомогою методу Жордана-Гаусса^

Розглянемо детально цей процес Нехай змінна х3 входить у г-е рівняння з коефіцієнтом агз^ Для того щоб вона стала базисною, поділимо г-е рівняння на агз 0, тобто зробимо коефіцієнт при х3 одиницею, і результат віднімемо від кожного з решти рівнянь, множачи кожного разу його на відповідний елемент аі3 (дістанемо змінну х3 з коефіцієнтом ())■

Сукупність операцій, які утворюють крок жорданових ви­ключень, називаються жордановим перетворенням^ Фор­мули для обчислення коефіцієнтів а'^, Ьі, і Є {1, ,т}, нової системи, одержаної у результаті одного кроку жорданових ви­ключень із розв'язувальним елементом агз, мають вигляд:

64аі] = аі] ,     Ьі = Ьі

і є{1,...,т],  і = г,   і є{1,...,п]. (24)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія