В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 17

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Обчислення за формулами (24) можна описати за допомо­гою правила прямокутника: щоб знайти елемент а'^, тре­ба від елемента      відняти добуток коефіцієнтів, які стоять навпроти нього у провідних стовпчику і рядку, поділений на провідний елемент, розміщений по діагоналі від елемента аіі— І І І І І І

аті— — — А агз

Отже, послідовність дій, які виконуються на одному кроці жорданових перетворень у відповідності з формулами (24) та­ка: провідний елемент замінюється одиницею; усі решта еле­ментів провідного рядка діляться на провідний елемент; усі решта елементів провідного стовпчика замінюються нулями; елементи, які не належать провідним рядку або стовпчику, обчислюються за правилом прямокутника.

Для перетворення системи (21) у базисну форму (23) треба не більше ніж т кроків жорданових перетворень. На першо­му кроці за провідний елемент вибирається довільний елемент агз = 0. На другому кроці провідний елемент вибирається у будь-якому рівнянні (крім г-го) серед ненульових коефіцієнтів системи, одержаної після першого кроку і т.д. Якщо в процесі виключень з'явиться рівняння, у якому ліва частина дорівнює нулю, а вільний член відмінний від нуля, - це ознака несуміс­ності системи. Якщо ліва і права частини деякого рівняння перетворюються в нуль, то воно є лінійною комбінацією решти рівнянь, і його треба виключити з розгляду. Отже, у процесі жорданових перетворень або встановлюється несумісність си­стеми рівнянь, або система зводиться до еквівалентної базис­ної системи (23), звідки розв'язок одержується безпосередньо. Формули жорданових перетворень (24) застосовуються як у ви­падку т = п, так і у випадку т < п.

65

Приклад 9. Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса

хі   —2x2   +3жз   —4x4 +2x5    = 4,

Х2       хз     4 +4x5    = —3, хі   +3x2              —3x4 = 1,

Хl    2     +xз    —3x4 +3x5     = 1-

А Результати обчислень подамо у вигляді таблиці

 

А2

Аз

АА

Аб

Ао

 

Аі

А2

А

А4

Аб

Ао

1

-2

3

-4

2

4

 

1

0

1

-2

10

-2

0

1

-1

1

4

-3

 

0

1

-1

1

4

-3

1

3

0

-3

0

1

 

0

0

2

-4

-22

12

1

1

1

-3

3

1

 

0

0

ш

-2

-11

6

1

-2

3

-4

2

4

 

1

0

0

0

21

-8

0

ш

-1

1

4

-3

 

0

1

0

-1

-7

3

0

5

-3

1

-2

-3

 

0

0

0

0

0

0

0

3

-2

1

1

-3

 

0

0

1

-2

-11

6

Отже, система набула вигляду

Хl +21x5 = —8,

Х2 Х4       7x5 = 3,

Хз    2x4     Х5 = 6,

де Хі, Х2, Хз - базисні змінні, а Х4, Х5 - вільні змінні. Тому загальний розв'язок системи: Хі = 8—21x5, Х2 = 34+7Х5, Хз = 6+2x4+ІІХ5, 45} С М. Якщо покласти Х4 =0, Х5 = 0, то одержимо базисний розв'язок Хі = —8, Х2 = 3, Хз = 6, Х4 = 0, Х5 =0. ►

За допомогою методу Жордана-Гаусса можна знаходити матрицю, обернену до даної. При цьому не треба досліджувати задану матрицю на особливість, обчислюючи її визначник. Як­що можливе число кроків жорданових перетворень г менше від порядку п матриці < п), то матриця особлива й оберненої немає.

Приклад 10. Знайти матрицю, обернену до матриці

/   2     2    3 \ А = (    1    —10  ] -

—1 2 1

66

А Запишемо матрицю А, а справа поряд із нею - одиничну мат­рицю Е третього порядку і виконаємо такі жорданові перетворення, щоб на місці матриці А утворити одиничну матрицю Е. Обчислення подамо у вигляді таблиць

Аі    А2 Аз

Еі      Е2 Е3

2      2 3 1     -1 0 -1     2 1

1         0 0 0         1 0 0        0 1

1      1 3/2 0     -2 -3/2 0      3 5/2

1/2       0 0 -1/2      1 0 1/2       0 0

10 01 00

3/4 3/4 1/4

1/4      1/2 0 1/4    -1/2 0 -1/4    3/2 1

1      0 0

0    1 0 0    0 1

1        -4 -3 1        -5 3 -16 4

Отже, на місці матриці А дістали одиничну матрицю Е, а на місці одиничної матриці Е - обернену матрицю А-1. Тому

/   1    -4   -3 \ А-1 = І    1    -5    3   ] .

-1   6 4

3.8. Теорема Кронекера-Капеллі. Розглянемо систе­му (21). Матриця

аіп \

називається матрицею системи (21), а матриця

аіп    Ьі \

А

а21 а22

Аі а2і а22

67

- розширеною матрицею системи (21).

Відповідь на питання, коли система (21) є сумісною дає така теорема.

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рів­нянь сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг матриці систе­ми дорівнює рангу розширеної матрицї цієї системи, тобто гапд(А) = гапд(Аі).

Отже, якщо гапд(А) < гапд(Аі), то система (21) не має розв'язків. Вона суперечлива - не існує вектора х0 = (хі; хР,; ; х°), який задовольняє одночасно всі рівняння (21).

У випадку, коли гапд(А) = тапд(А\) = к, система (21) має розв'язки. Щоб знайти їх, ми повинні вибрати із систе­ми (21) деякі к рівнянь, матриця коефіцієнтів яких має ранг к, і розв'язати ці рівняння. Розв'язків у цієї системи к рівнянь з п невідомими безліч. При цьому довільний розв'язок даних к рівнянь є розв'язком і решти п — к рівнянь системи (21).

Описані вище випадки вичерпують усі можливі ситуації, оскільки ранг Аі не може бути меншим, ніж ранг А.

Для розв'язання системи (21) у загальному випадку не тре­ба обчислювати ранги матриць А і Аі, а потім їх порівнювати. Достатньо одразу застосувати метод Жордана-Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса зручний тим, що він є найменш тру­домістким, дозволяє одночасно встановити сумісна дана систе­ма чи ні, і у випадку сумісності знайти її розв'язки. Крім того, він дає можливість знайти максимальне число лінійно неза­лежних рівнянь - ранг матриці системи.

Приклад 11. Розв'язати систему рівнянь

хі + Х2 + хз = 1, хі + х2 + 2хз = 1, хі + х2 + 3хз = 2.

А Матриця системи

( 1   1   1 \ А = (   112 І

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія