В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 18

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

113

має визначник \А\ = 0. Очевидно, що ранг матриці А дорівнює 2, бо

68

є визначник, наприклад, Матриця

Аі

1 1 1 2 1 = 0.

1111

112 1

113 2

має ранг, що дорівнює 3, оскільки визначник, породжений даною матрицею

'111 1   2   1   =1 = 0. 1   3 2

Отже, гапд(А) < гапд(Аі), і система несумісна. ► Приклад 12. Розв'язати систему рівнянь

хі + х2 + хз = 1, хі + х2 + 2хз = 1, 2хі + 2х2 + 4х3 = 2.

А Маємо

А

111 112

2   2 4

Аі 1111 1121 2242

Очевидно, що \А\ = 0, а гапд(Аі) = гапд(А) = 2. Отже, система сумісна і для знаходження її розв'язків виберемо два рівняння та­ких, щоб ранг матриці з їхніх коефіцієнтів дорівнював 2. Візьмемо, наприклад, перше і друге рівняння

Г хі + Х2 + хз = 1, [ хі + Х2 + 2хз = 1-

Запишемо цю систему у вигляді

хі + хз = 1 -хі + 2хз = 1 х2, х2-

Визначник Д останньої системи

Д 11 12 1 = 0,

тому вона має єдиний розв'язок при довільній правій частині:

хі 1

Д

х2 х2

х2 , хз

1

Д 11 11 х2 х2 0-

1

69

Отже, трійки чисел (1 х2; х2 ;0) при будь-якому х2 Є М дають всі розв'язки даної системи. ►

В

Вправи

1. Знайти матрицю А + 3 В С, якщо А

21

 Л>

с

9 2

1   2 —2 4

2. Обчислити матрицю В = (АВ)Т

20

C2,

де А = ( 3 4 2 ^ ^ = [ і3 ьс

3. Знайти АВ і В А, якщо А = ^2   1    11 V В

(0 4}

3 -1

-1 1 11

4. Обчислити АВ, якщо: 1) А-

5 0 2 3 4 15 3 3 1-12

В

2) А = ( 4   0   -2   3   1 ), В

/   6 \

2

7

4

3

1

-1

5

2

5.  Нехай А

1 -1 0 011 211

( 1   2   3 ї

456

В

11 12 13

Обчислити АВ, ВА, АС, ВС, i C2.

6. Знайти добуток матриць АВС, де А

В = ( 93   \  С = ( 7 3

В     ^38    -126 у' с     V 2 1

7. Обчислити А3, якщо А -

47 35

8. Знайти матрицю, обернену до даної

13 -24 .

3 -4

i С

70

/2 5 |; 2) І   6 3 \ 5 -2 9. Знайти власні значення

1)

(57)

«(21 М4 -3

10. Знайти ранг матриці

7  \        /3 -12 4    ] ; 3) І  0   -2 1 -3 )       \ 5    0 3

власні вектори матриці:

1 7 0

М3 -5)

І; 4)

1)

2

5

6

\

4

-1

5

 

4

-1

5

 

2

-6

-1

/

2)

3 2

1

11. Матричним методом розв'язати систему:

+ х = 2,

; 2)

1)

+ 2у + 4у

4,

8;

2х -

х + 5у

4х + у

■4г 3х

І - у + х = 2, 3х + 2у + 2х = -2, х - + х = 1. 12. Методом Жордана-Гаусса розв'язати систему:

1)

3)

4)

і + 3х2 - хз і + х2 - з 6, 4, 0;

2)

хі + 2х2 - з = 4хі + х2 - хз = 2,

3,

8;

хз + х4 = 4,

хі + х2

1,

хі 3хі хі

і-3

х2 + хз

6,

х4

0;

1,

3х2 + 2хз + 2х4 3хі - 8х2 + 8хз + 7х4 = 3, 2хі - 4х2 + 8хз + 8х4 = 0, 2хі - 3х2 + 10хз + 8х4 = 1; хі + 2х2 + 3хз = 2, хі - х2 - хз = -2,

3 1

4

5) .

хі + 3х2 - хз = -2. 13. Знайти матрицю, обернену до даної, використовуючи метод Жордана-Гаусса:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія