В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 19

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

2 7 3 2   5 7

1) |   3   9   4   ] ; 2) І   6    3 4

1 5 3 5   2 3

71

201 3) І 1 1 2 012

4) 1248 0124 0012 0001

1.

00 0

56

4. 1) 1   69   | ; 2) (31). 5. АВ

17

Відповіді

3. АВ =

 0И9 7>з-Ав=(3 -1

15 32 , ВА

АС

745

16 7 11

,

ВС невизначена, С2

579 9  12 15 13 17 21 -2 -1 22

40

2

20 03 1 -1 2) І -38 41

(2? -24). 8.1)( 1 \

34 1 ; 3)

8. 1)

2

27 -

-1, Хі = С Хі = С

1

111

ґ 1

29 24 1 1

-5/3 1/3 1 -10/3   5/3 2

9. 1) Лі = 3, А2

Х2 = С Х2 = С

С Є Ш \{0}; 2) Лі = 1, А2 = -1,

С Є Ш \ {0}; 3) Лі = -3, А2 = 1;

Хі = С

Хі = С

1

Х2 = С

.31

С Є Ш \{0};4) Лі =0, А2 = 1, Аз = 2; Хз = С 1    1    1, С Є Ш \ {0}.

1    ], Х2 = С

-4 -7 -4

10. 1) 2; 2) 2. 11. 1) (0;2); 2) (5; 6; 10); 3) (2;-1; -3). 12. 1) (1; 1; 1);

2) несумісна; 3) (1; 2.; 3; 4); 4) хі = 6-8х, х 2 = 1.-2хз, х4 = -1, хз Є

-7/3   2   -1/3 1 -1

5/3   -1 -1/3 -2.    1 1

1 -2   0 0

0    1    -2 0 0    0     1 -2

0   0   0 1

5) (-1;0;1). 13. 1)

0 1 -1 3) І -2   4 -3

1 -2 2

2)

1    -1 1 -38   41 -34 27    29 24

4)

7

72

§4. Лінійні моделі

4.1.     Застосування     алгебри     матриць. При

розв'язуванні багатьох економічних та інших прикладних задач використовується алгебра матриць.

Приклад 1. Підприємство випускає продукцію трьох видів Рі, Р2, Рз і використовує сировину двох типів      і 5*2. Норми вит-

(2 3 \

рат сировини характеризуються матрицею А = 5 2 , де кож­ний елемент о,із, і є {1,2,3}, і є {1,2}, указує, скільки одини­ць сировини і-го типу витрачається на виробництво одиниці про­дукції і-го виду. План випуску продукції задано матрицею-рядком С = ( 100   80   130 ), вартість одиниці кожного типу сировини -

п     ( 30 А

матрицею-стовпчиком В = І   50   1.

Знайти витрати сировини, необхідні для планового випуску про­дукції, а також загальну вартість сировини.

А Витрати сировини 1-го типу складають 5і = 2 100+ +5 80 + 1 • 130 = 730, а другого - 52 = 3 • 100 + 2 • 80+4 • 130 = 980, а це означає, що матрицю-рядок 5 витрат сировини можна подати у вигляді

( 2   3 \

5 = СА = ( 100   80   130 ) (   5   2   І = ( 730   980 ) .

14

Тоді сумарна вартість сировини

0> = БВ = ї 730   980 ) ^ 30 ^ = (730 30 + 980 50) = (70900).

Сумарну вартість сировини можна обчислити й по-іншому: спочат­ку обчислимо матрицю вартостей сировини на одиницю продукції,

тобто матрицю Я = АВ

а потім

загальну вартість сировини

( 210 \

Р; = СЯ = С(АВ)=( 100   80   130 )(   250   І =(70900). ►

230

73

Приклад 2. Галузь складається з п підприємств, кожне з яких випускає по одному виду продукції в обсязі хі, і Є {І, ...,п}, одини­ць. Для забезпечення свого виробництва підприємство використовує частину продукції, яка випускається ним самим та іншими підпри­ємствами. Нехай аіу - частина продукції і-го підприємства, яка ви­користовується і-им підприємством для забезпечення випуску своєї продукції обсягом одиниць.

Знайти обсяг кінцевого продукту у3, тобто кількість продукції І-го підприємства для реалізації поза даною галуззю. Розрахунки

коли X = І    .    | і А

провести для випадку,

мають відповідно вигляд

а21 а22

\ хп

а1п \

а2п

X

400 500 200

А

0, 4

0, 2

0, 3

0, 3

0, 5

0, 2

0,1

0, 2

0, 2

А Позначимо через У матрицю-стовпчик

/ у1

У

уп

Очевидно, що уі = хі      аіу, і Є {І,п}, або в матричній формі

3 = 1

У = X АХ, тобто У = А)Х, де Е У нашому випадку маємо

1 - 0, 4 -0, 3

-0,1

0, 2

- 0, 5 0, 2

-0,3

-0,2

1  0, 2

одинична матриця.

400 500 200

240 - 100 - 60 -120 + 250 - 40 -40 - 100 + 160

80 90

20

Приклад 3. Контакти першого і другого порядків у єпІдємІологІї. Припустимо, що троє осіб захворіли деякою хворо­бою. Другу групу з шести осіб опитують з метою з'ясування, хто з них мав контакт з трьома хворими. Потім опитують третю групу з

У

1

74семи осіб, щоб з'ясувати їхні контакти з ким-небудь із шести осіб дру­гої групи. Описати можливі контакти (прямі та непрямі) осіб другої і третьої груп між собою та з хворими першої групи.

А Визначимо матрицю А = (а^) іЄ{і,2,зу , покладаючи аіу = 1,

якщо к-та особа другої групи знаходилася в контакті з г-ою хворою особою з першої групи, і аіу =0 - у протилежному випадку. Ана­логічно визначимо матрицю В = (бу) кє{і,...,б}, покладаючи Ьуі = 1,

якщо /-та особа третьої групи знаходилася в контакті з і-ою особою з другої групи, і =0 - у протилежному випадку. Ці дві матриці описують схему контактів першого порядку між групами.

Нас можуть цікавити також непрямі контакти, або контакти дру­гого порядку, між особами третьої групи і хворими з першої групи.

Ці контакти описує добуток матриць С = АВ, де 6

Е

к=1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія