В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Декартів добуток множин А і В - це така множина А х В елементами якої є всі пари (а, Ь), де а Є А, Ь Є В. При цьому

7вважається, що іі) = (а2, Ь2) тоді й тільки тоді, коли аі = а2, Ьі = Ь2. Аналогічно визначається декартів добуток множин Аі, А2, Ап, а саме: Аі х А2 х ... х Ап = {(аі, а2,ап) : аі Є Аі2 Є А2, ...,ап Є Ап}.

Приклад 1. Знайти АиВ і АпВ, якщо: 1) А = {-2, -1,0,3,5}, В = {-2,0, 4, 5}; 2) А = {1, 2, 3}, В = {-1}; 3) А = [0; 1), В = (\; 2].

< Маємо 1) А и В = {-2, -1, 0, 3,4, 5}, А П В = {-2, 0, 5};

2) А и В = {-1,1, 2, 3}, А П В = 0;

3) А и В = [0;2], А П В = (\

Приклад 2. Довести, що А и В = А П В для довільних множин А і В.

Нехай х Є А и В. Тоді х Є А и В, звідки випливає, що х Є А і х Є В, тобто х Є А і х Є В. Останнє означає, що х Є А П В, і отже, А и В С А П В. Повторивши ці міркування у зворотному порядку, одержимо А и В З А П В. Тому А и В = А П В.

Приклад 3. Нехай множини А, В, С мають відповідно два, чотири і шість елементів. Скільки елементів має множина А х В х С?

< Згідно з означенням декартового добутку Ах В хС = {(а,Ь,с) : а Є А,Ь Є В,с Є С}. Оскільки а може набувати два значення з А, Ь - чотири значення з В, с - шість значень з С, то всього матимемо 2-4-6 = 48 трійок вигляду (а, Ь, с). Тому Ах В хС має 48 елементів. ►

Будемо говорити, що між елементами множин А і В вста­новлено взаємно однозначну відповідність, якщо кожному елементу множини А відповідає єдиний елемент множини В і, навпаки, кожному елементу множини В відповідає єдиний еле­мент множини А.

Якщо між елементами множин А і В встановлено взаємно однозначну відповідність, то ці множини називають еквіва­лентними і пишуть А ~ В. Очевидно, що еквівалентні скін­ченні множини мають однакову кількість елементів або, як ка­жуть, мають однакову потужність.

Множину, яка еквівалентна множині натуральних чисел М, називають зліченною. Очевидно, що всі зліченні множини еквівалентні.

1.2. Елементи комбінаторики. У багатьох приклад­них задачах доводиться підраховувати число всіх підмножин

аної скінченної множини, які задовольняють певні умови. Ці задачі вивчає комбінаторика.

Нехай А - множина, число елементів якої N (А) = п. Таку множину називають п-множиною.

В основі багатьох теорем і формул комбінаторики лежать правила суми і добутку.

Правило суми. Якщо деякий об'єкт а можна вибрати т способами, а об'єкт Ь - п способами, причому ніякий вибір а не збігається з жодним з виборів Ь, то один з об'єктів а або Ь можна вибрати т + п способами.

На мові множин дане правило означає, що коли А є т-множиною, В - п-множиною, причому АГіВ = 0, то NиВ) = N (А) + N (В) = т + п.

Правило добутку. Якщо об'єкт а можна вибрати т спосо­бами і при кожному виборі об'єкта а об'єкт Ь можна вибрати п способами, то вибір пари (а, Ь) можна здійснити тп способами.

На мові множин правило добутку означає, що коли А є т-множиною, В - п-множиною, причому АГВ = 0, то N (Ах В) = N (А) N (В) = тп.

Приклад 4. Скільки чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо: а) жодна з цифр не повторюється; б) цифри можуть повторюватися?

< а) Першою цифрою може бути одна з цифр 1, 2, 3, 4, 5. Як­що перша цифра вибрана, то друга може бути вибрана 5 способами, третя - 4 способами, четверта - 3 способами. Згідно з правилом мно­ження, загальна кількість способів дорівнює 5 • 5 • 4 • 3 = 300.

б) У цьому випадку першою цифрою може бути одна з цифр 1, 2, 3, 4, 5, тобто 5 випадків. Для кожної наступної маємо 6 випадків (0, 1, 2, 3, 4, 5). Отже, шукана кількість чотиризначних чисел дорівнює 5 • 6 • 6 • 6 = 5 • 63 = 1080. ►

Множину А називають упорядкованою, коли в ній вста­новлено відношення порядку   , яке має такі властивості:

1) для будь-яких {а,Ь} С А або а Ь (а передує Ь), або Ь -< а;

2) якщо а Ь, Ь с, то а с.

Для впорядкування п-множини А досить кожному її еле­менту приписати один з номерів 1, 2, ...,п або просто запи-

9сати її елементи в певному порядку. Наприклад, множину А = {а,Ь,с} можна впорядкувати так: (а,Ь,с), (Ь,а,с), (а,с,Ь), (Ь, с, а), (с, а, Ь), (с, Ь, а).

Дві впорядковані множини вважають рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів і однаково впорядковані.

Нехай є п-множина А і деяке натуральне число к < п. Роз­міщенням з п елементів по к називають будь-яку впорядкова­ну к-підмножину множини А. Число розміщень з п елементів по к позначають символом А^. Обчислюється це число за фор­мулою

Акп = п(п - 1)... (п - к + 1). (1)

Справді, розглянемо деяку впорядковану к-підмножину {а\, а2,сік}   п-множини А. Перший елемент аі можна виб­рати п способами, другий елемент а2 - (п 1) способами, останній елемент     - (п к + 1) способами. Згідно з правилом добутку одержуємо формулу (1).

Приклад 5. Правління фірми складається з 7 осіб. Скілько­ма способами з них можна обрати голову правління, директора та менеджера.

Скористаємося формулою (1), де п = 7, к = 3: А7 = 7 6 5 = 210. ►

Розміщення з п елементів по п називаються перестанов­ками з п елементів і їхня кількість позначається Рп.

Очевидно, що Рп - це число різних способів, якими можна впорядкувати п-множину, і, отже, Рп = А^. З формули (1) випливає, що

Рп = 1 2 ... п = п\. (2)

Приклад 6. Скількома способами можна скласти список з 8 студентів.

Оскільки складання списку є певним упорядкуванням множи­ни з 8 осіб, то маємо   Р8 = 8! = 40 320.

Отже, список можна скласти 40 320 способами. ► Комбінацією з п елементів по к називається будь-яка к-підмножина п-множини А. Число всіх комбінацій з п елементів по к позначається символом СП.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія