В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 20

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

аікЬкз

кількість контактів другого порядку між і-ою особою третьої групи та г-ою особою з групи хворих.

Нехай матриці А і В мають, наприклад, вигляд

001010

А = І   10   0   10 0

001101

В

У даному випадку а24 означає, що четверта особа другої групи знаходилася в контакті з другим хворим першої групи. Аналогічно, Ьзз = 0 означає, що третя особа з третьої групи не контактувала з третьою особою другої групи.

Знайдемо матрицю С

1101011 С = АВ = І 0 0 2 1 0 1 0 2011021

Елемент в= 2 показує, що є два контакти другого порядку між третьою особою третьої групи і другою хворою особою. Зауважимо, що у шостої особи з третьої групи виявилося 1 + 1 + 2 = 4 непрямих

75контактів з інфікованими хворими. Таких контактів немає лише у п'ятої особи. ►

Приклад 4. Застосування матриць в географії. У гео­графії матриці широко використовуються при вивченні географіч­них сіток. Зокрема, у фізичній географії розглядають річкові си­стеми, які класифікують за водостоками, враховуючи кількість та довжину приток. Для цього зображують ділянку річкової сітки в матричній формі відповідно до кількості приток (ребра), які зустрі­чаються у точках їхнього злиття (вузли).

Розглянемо деяку просту річкову сітку. Занумеруємо ребра чис­лами від 1 до 5, а вузли - буквами від а до ]. Запишемо матриці, що характеризують дану річкову сітку. Елементи цих матриць - це або одиниці, або нулі в залежності від того, чи зв'язані між собою притоки (вузли) чи ні.

1   2   3   4 5

1 \

/ 0   0   0 1 0   0 110 0   10 10 1110 1 \ 1   0   0   1   0 /

Матриця ребер

а   Ь   с   d   е f

а /010000\ Ь      10   10 10 с      0   1   0   0   0 0 d      0   0   0   0   1 0 е      0   10   10 1

! \000010/

Матриця вузлів

А У матриці ребер, наприклад, видно, що притока 2 безпосеред­ньо зв'язана з притоками 3 і 4, а з притоками 1 і 5 не зв'язана. Анало­гічно з матриці вузлів випливає, що вузол d безпосередньо зв'язаний з вузлом е, але не зв'язаний з іншими вузлами, а вузол Ь зв'язаний з вузлами а, с та е.

Кожна з цих матриць є симетричною, але очевидно, що ця си­метричність втрачається, якщо ми хочемо відобразити у якому на­прямку тече річка. Це означає, що зв'язок в одному із напрямків є неможливим. Умовно даний факт відобразимо так: рядки визна­чають течію "із" а, Ь, с і т.д., а стовпчики - течію "в" а, Ь, с і т.д. Оскільки можливі зв'язки лише із 1 в 5 або із ] в е, то в кожній з на­ведених матриць деякі зв'язки втрачаються. Тому матриці матимуть у цьому випадку вигляд

76

12345

 

а

Ь

с

d

е

І

а

0

1

0

0

0

0

Ь

0

0

1

0

0

0

с

0

0

0

0

0

0

d

0

0

0

0

1

0

е

0

1

0

0

0

0

І

0

0

0

0

1

0

Сума елементів в кожному стовпчику дає загальну кількість при­ток, що впадають у кожну річку. В нашому випадку маємо по дві притоки - ребра 4 і 5 та два вузли Ь і е.

Зміни річкової сітки можна подати за допомогою додавання і віднімання матриць.

Запропонований матричний метод можна використовувати й для інших характеристик річкової сітки,наприклад, описання витрат во­ди, розмірів русла і т.п. ►

4.2. Застосування систем лінійних рівнянь. На­ведемо приклади задач економіки, математичні моделі яких описуються системами лінійних рівнянь.

Приклад 5. Завод спеціалізується з випуску чотирьох видів виробів Р\, Р2, Р3 і Р4. При цьому використовується сировина чоти­рьох типів $і, $2, 5 і £4. Норми витрат кожної з них на одиницю продукції відповідного виду задано таблицею

Вид

Норми витрат одиниць

Витрати

сиро-

сировини на одиницю продукції

сировини

вини

Рі

 

Рз

 

на 1 день, ум.од

$1

1

2

1

0

8

$2

0

1

3

1

15

$3

4

0

1

1

11

$4

1

1

0

5

23

Знайти щоденний обсяг випуску продукції кожного виду.

А Нехай завод випускає одиниць продукції , і Є {1,---, 4}. Тоді, згідно з нормами витрат сировини кожного типу, маємо систему рівнянь

хі + 2x2 + хз =8, Х2 + 3хз + Х4 = 15, 4хі     + хз + Х4 = 11, хі + х2     + 5х4 = 23-

77

Розв'яжемо цю систему методом Жордана-Гаусса

 

А2

Аз

А4

Ао

Аі

А2

Аз

А4

Ао

1

2

1

0

8

1

0

0

13

53

0

4

1 0

3

1

1 1

15 11

0 0

1 0

0 0

-8 -54

-30

-216

1

2

0

5

23

0

0

1

3

15

1

2

1

0

8

1

0

0

0

1

0

ш

3

1

15

0

1

0

0

2

0

-8

-3

1

-21

0

0

0

1

4

0

-1

-1

5

15

0

0

1

0

3

1

0

-5

-2

-22

 

 

 

 

 

0

1

3

1

15

 

 

 

 

 

0

0

21

9

99

 

 

 

 

 

0

0

2

6

30

 

 

 

 

 

Отже, завод випускає в день 1 ум.од. продукції Рі; 2 ум.од. про­дукції Р2; 3 ум.од. продукції Рз і 4 ум.од. продукції Р4.

Приклад 6. Для виплати заробітної платні працівникам чоти­рьох категорій Р»і, Р»2, Вз і Р»4 виділено купюри таких вартостей: 1850 купюр по 100 грн., 230 купюр по 50 грн., 250 купюр по 10 грн. і 740 купюр по 1 грн. Заробітна платня працівника категорії Ві скла­дає 962 грн., категорії В2 - 713 грн., категорії Вз - 452 грн., категорії В4 - 261 грн.

Визначити скільки працівників даної категорії працює на підпри­ємстві, якщо кожному з них видали заробітну платню мінімальним числом купюр.

А Оскільки оплата проводиться мінімальним числом купюр, то таблиця розподілу купюр різної вартості, які видають співробітни­кам різних категорій, має вигляд

Вартість

 

Розподіл купюр

 

Загальна

купюри,

 

по категоріях

 

кількість

грн.

Ві

В2

Вз

В4

купюр

100

9

7

4

2

1850

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія