В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 21

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

50

1

-

1

1

230

10

1

1

-

1

250

1

2

3

2

1

740

Нехай х$ - кількість працівників категорії В^, і Є {1, 2, 3,4}. Тоді за даними наведеної вище таблиці матимемо систему рівнянь

78балансу

9х1 + 7х2 + 4ж3 + 2ж4 = 1850, хі    + хз + Х4 = 230, хі + Х2       + Х4 = 250, 2х1 + 3х2 + 2х3 + х4 = 740.

Розв'яжемо одержану систему методом Жордана-Гаусса.

Аі

А2

Аз

А4

Ао

Аі

А2

Аз

А4

Ао

9

ш

7

0

4

1

2 1

1850

230

0 1

0 0

1

0

-7/2 9/2

-180 410

1

1

0

1

250

0

1

0

-7/2

-160

760

2

3

2

1

740

0

0

0

19/2

 

0

7

-5

-7

-220

0

0

1

0

100

1

0

1

1

230

1

0

0

0

50

0

 

-1

0

20

0

1

0

0

120

0

3

0

-1

280

0

0

0

1

80

0

1

0 0

2 1

-7 1

-360

230

 

 

 

 

 

0

1

-1

0

20

 

 

 

 

 

0

0

3

-1

220

 

 

 

 

 

Отже, працівників категорії В\ на підприємстві працює 50 осіб, категорії В2 - 120 осіб, категорії В3 - 100 осіб і категорії В4 - 80 осіб. ►

4.3. Модель Леонтьєва багатогалузевої еконо­міки. Метою балансового аналізу є відповідь на питання, яке виникає в макроекономіці й пов'язане з ефективністю ведення багатогалузевого господарства: яким повинен бути обсяг ви­робництва кожної з п галузей, щоб задовольнити всі потреби в продукції даної галузі? При цьому кожна галузь виступає, з одного боку, як виробник деякої продукції, а з другого - як споживач продукції і своєї, і виробленої іншими галузями.

Припустимо, що є п галузей промисловості, кожна з яких виробляє свою продукцію. Частина продукції йде на споживан­ня всередині даної галузі, а також іншими галузями, а друга частина - для реалізації (споживання) у невиробничій сфері.

Розглянемо процес виробництва за деякий проміжок часу, наприклад, рік.

79

Введемо такі позначення: - сумарний (валовий) обсяг продукції г-ої галузі, уі - обсяг кінцевого продукту г-ої галузі для невиробничого споживання Є {1, ...,п}), -і- - обсяг про­дукції г-ої галузі, що споживається і-ою галуззю в процесі ви­робництва ({г,і} С {1,...,п}).

Балансовий принцип зв'язку між різними галузями проми­словості полягає в тому, що валовий випуск г-ої галузі повинен дорівнювати сумі обсягів споживання у виробничій і невироб­ничій сферах, тобто

Хіі + Хі2 + ... + Хіп + Уі,   г Є{1,...,п}.

(25)

Ці рівняння називаються співвідношеннями балансу.

Розглядатимемо вартісний міжгалузевий баланс, коли всі ве­личини, які входять до рівності (25), мають вартісне виражен-

ня.

Уведемо коефіцієнти прямих витрат

а— =     ,   {г,і {1,...,п}, (26)

які виражають витрати продукції г-ої галузі на виробництво одиниці продукції і-ої галузі. Леонтьєвим було помічено, що протягом довгого часу величини а— змінюються мало, і тому їх можна вважати сталими й залежними лише від технології виробництва. Це означає лінійну залежність матеріальних вит­рат від валового випуску, тобто -і- = а—х- ({г,і} С {1, ...,п}). При цьому співвідношення балансу набувають вигляду

ац-і + 2-2 + ... + аіп-п + Уі,   г є{1,...,п}. (27)

Розглядатимемо матрицю-стовпчик X обсягів виробленої продукції (матриця валового випуску), матрицю У обсягів про­дукції кінцевого споживання (матриця кінцевого споживання), а також матрицю А коефіцієнтів прямих витрат:

X -2

У

( Уі \ ( аіі аі2

А а    а22     ... (2п

V апі   аП2   ...   апп )

80

Тоді система рівнянь (27) у матричній формі матиме вигляд

X = АХ + У. (28)

Це рівняння називають рівнянням лінійного міжгалу­зевого балансу, або моделлю Леонтьєва.

Рівняння (28) можна використовувати двояко: 1) відо­ма матриця-стовпчик валового випуску X, а треба знайти матрицю-стовпчик кінцевого споживання У (задача розгляну­та вище у прикладі 2); 2) для періоду Т (наприклад, рік) відо­ма матриця стовпчик кінцевого споживання У і треба знайти матрицю-стовпчик валового випуску.

У другому випадку треба розв'язати систему рівнянь (28) з відомими матрицею А і матрицею стовпчиком У. Перепишемо рівняння (28) у вигляді

-        = У. (29) Якщо матриця А) невироджена, тобто АєЬ(Е А) = 0,

то

X = А)-іУ. (30)

Матриця 5 = А)-1 називається матрицею повних вит­рат; кожний її елемент Зі- є величиною валового випуску про­дукції г-ої галузі, необхідної для забезпечення випуску одиниці кінцевого продукту і-ої галузі у—, і Є {1, ...,п}.

У відповідності з економічним змістом задачі значення повинні бути невід'ємними при невід'ємних значеннях уі і а—,

де {г, і} С {1, ... , п}.

Матриця А > 0 (а— > 0, {г,і} С {1,... ,п}) називається продуктивною, якщо для довільної матриці-стовпчика У > 0 (уі > 0, і Є {1,...,п}) існує розв'язок X > 0 (хі > 0, і Є { 1 , . . . , п} ) рівняння (28). У цьому випадку й модель Леонтьєва називається продуктивною.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія