В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 22

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Існує декілька критеріїв продуктивності матриці А. Один з них стверджує, що матриця А продуктивна, якщо максимум сум елементів її стовпчиків не перевищує одиниці, причому хо­ча б для одного зі стовпчиків сума елементів строго менша

81одиниці, тобто матриця А продуктивна, якщо      > 0 для до­га

вільних {і, і} С {1,...,п},     тах N        < 1 та існує номер і

і=1

такий, що < 1.

і=1

Приклад 7. У таблиці наведено дані про виконання балансу за певний звітний період

N п/п

Галузь

Споживання

Кінцевий продукт

Валовий випуск

 

 

Енергетика

Машинобуд.

 

 

1

Енергетика

7

21

72

100

2

Машино­будування

12

15

63

100

Обчислити необхідний обсяг валового випуску в кожній галузі, якщо кінцеве споживання енергетичної галузі збільшиться вдвічі, а машинобудування залишиться на попередньому рівні.

А Маємо х\ = 100, Х2 = 100, хц = 7, хуі = 21, хц = 12, Х22 = 15, уі = 72, у2 = 63. За формулою (26) знаходимо коефіцієнти прямих витрат: ап = ї70 = 0,07, аХ2 = ^ = 0,21, а2\ = ^ = 0,12,

15     п л, л     ( 0,07   0,21

а22 =      = 0,15. Матриця прямих витрат А = І  0 12   0 15

невід'ємні елементи і задовольняє критерій продуктивності, оскільки тах{0,07 + 0,12; 0, 21 + 0,15} = тах{0,19; 0, 36} = 0, 36 < 1.

Тому для довільної матриці-стовпчика кінцевого продукту У можна знайти необхідний обсяг валового випуску X за формулою X = (Е - А)-1У.

має

Оскільки згідно з умовою У

Е-А

(0Ї)-(

0, 07 0, 21 0,12   0,15

(144 \ і І 63   І, то треба знайти (Е—А) .

\ = / 0, 93 0, 21 \ ; У     V 0,12    0, 85   ) ;

<іеі(Е А) = 0, 93 0, 85 0,12 0, 21 = 0, 7653 = 0;

А)-1

1

0, 7653

Отже, вектор кінцевого продукту

0, 85 0, 21

\ 0,12   0, 93 )

X

1

0, 7653

( 0, 85   0,21 \ / 144 \

0, 12 0, 93 63

82

О, 7653

О, 85 • 0,12 • 144 +О, 21 • 144 + 0, 93 • 63 63 \ = { 177, 2 \ )     V 99,1 )

тобто валовий випуск в енергетичній галузі треба збільшити до 177,2 ум.од., а в машинобудуванні - до 99,1 ум.од. ►

Приклад 8. Визначити міжгалузевий баланс виробництва й споживання продукції трьох галузей, коли відома матриця прямих

О, 3 О, 1 О, О

витрат А = (   0, 2   0, 3   0, 2   | і кінцевий продукт кожної галузі

О, 1 О, О О, 1

100000 300000 200000

(

А Маємо X = (Е - А)-1У, де X

Отже,

Е-А

100 010 001

хз

0, 3 0, 1 0, 0 0, 2 0, 3 0, 2 0, 1 0, 0 0, 1

- А)-1

Тоді

0, 7    -0,1    0, 0

-0, 2   0, 7   -0, 2 -0, 1   0, 0   0, 9

<іе^Е - А) =0, 421;

1, 49644 0, 21378 0, 04751 0, 47506 1, 49644 0, 33254 0, 16627 0, 02375 1, 11639

1, 49644 0, 21378 0, 04751      100000 223280

X = (   0,47506   1,49644   0,33254  | (   300000   | « ( 562946

0, 16627 0, 02375 1, 11639      200000 247030

Обсяг виробництва першої галузі хі = 223280, другої х2 = 562946 і третьої хз = 247030. Знаючи ці обсяги й коефіцієнти прямих витрат, можна обчислити потоки продукції від г-ої до ^-ої галузі.

83

Якщо, наприклад, на одиницю продукції другої галузі йде 0,1 одиниць продукції першої галузі, то на 562946 одиниць всієї продук­ції другої галузі витрачається 0,1 • 562946 = 56294, 6 одиниць про­дукції першої галузі. Решта продукції першої галузі споживається у ній самій: 0, 3 • 223280 = 66984, 0, бо у третій галузі її продукція не споживається, оскільки аіз = 0.

Отже, продукція першої галузі розподіляється так: хц = 66984,0; хі2 = 56294,6; хіз = 0; уі = 100000, що разом складає х « 223279.

Подібним чином можна знайти балансовий розподіл продукції другої й третьої галузей. ►

4.4. Лінійна модель торгівлі. Вважатимемо, що ча­стини бюджетів п країн, які ми позначимо відповідно хі, Х2,

хп, витрачаються на купівлю товарів. Розглянемо лінійну модель обміну, або модель міжнародної торгівлі.

Нехай агу - частина бюджету ху, яку і-а країна витрачає на закупівлю товарів г-ої країни. Уведемо матрицю з коефіцієнтів

а21    а22     а2п

А

(31)

ап1    ап2     ■■■ апп

Якщо весь бюджет витрачається лише на закупки всередині країни та зовні неї, то це можна розглядати як торговельний баланс, а тому правильна рівність

п

^аг] = 1,  і Є{1,..;п]. (32)

г=1

Матриця А, елементи якої задовольняють умови (32) на­зивається структурною матрицею торгівлі. Очевидно, що для г-ої країни загальна виручка від внутрішньої та зовнішньої торгівлі

Рг = аі1х1 + аг2х2 + ■■■ + агпхп,  г Є {1, ■■■,п}.

Умовою бездефіцитності (збалансованості) торгівлі є Рг > хг або

ацх1 + аг2х2 + ■■■ + агпхп > хг,  г є{1,■■■,n}■ (33)

84

Якщо матриця А є структурною, тобто виконуються умови (32), то в (33) не можуть бути знаки нерівності. Справді, дода­мо всі нерівності (33) і погрупуємо доданки з величинами Ху. Тоді одержимо, що

хіц + а + ... + ещ) + Х2 і2 + а22 + ■■ + ап2) + +

+Х„(аі„ + а2„ + ■■■ + йпи) > Хі + Х2 + ■■■ + Хп■

Оскільки в дужках стоять суми елементів матриці по стовп­чиках, які дорівнюють одиниці за умовою (32), то одержимо нерівність

Хі + Х2 + ■■■ + Хп > Хі + Х2 + ■■■ + Хп^

Звідси випливає, що можливий лише знак рівності. Отже, умови (33) набувають вигляду

аііХі + аі2Х2 + ■■■ + аіпХп = Хі,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія