В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 25

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

яка називається матрицею квадратичної форми. Ранг мат­риці А називається рангом квадратичної форми. Зокрема, якщо г = п, тобто матриця А невироджена, то і квадратична форма називається невиродженою.

Оскільки аук = аку, то матриця А є симетричною, тобто її елементи симетричні відносно головної діагоналі. Очевид­но, що для будь-якої симетричної матриці А за формулою (37) можна побудувати квадратичну форму /, коефіцієнти якої є елементами матриці а.

Якщо ввести позначення

X ( Хі \

Х2

ХТ = ( хі    х2     . Хп)

пп

92то квадратичну форму (37) можна записати у вигляді

/ = Xт АХ. Розглянемо лінійне перетворення

п

 (39)

к=1

матрицею якого є

( 911   912   ■■   91п \

921 922

92га

V 9п1    9п2    .. .    Япп )

У матричному вигляді перетворення (39) запишеться так:

X = ОУ, (40)

де У ( У1 \

У2 . Тоді

Хт = Утят (41)

З'ясуємо як зміниться квадратична форма / при перетво­ренні (39).

Для цього підставимо (40), (41) в (38):

/ = Ут От АОУ = Ут (От АО)У.

Введемо позначення В = ОтАО, тоді

/ = Ут ВУ,

а це означає, що матриця В є матрицею квадратичної форми / від змінних уі, у2, ..уп. Матриця В є симетричною, оскільки

93

Вт = (ОтАО)т = ОтАтО = ОтАО = В. Якщо матриця О пе­ретворення (39) невироджена, тобто \О\ = 0, то ранг матриці В збігається з рангом матриці А, бо матриці О і От невироджені одночасно. Отже, ранг квадратичної форми / не змінюється при здїйсненнї невиродженого лїнїйного перетворення (39).

Вивчимо яким повинно бути перетворення (39), щоб квад­ратична форма / набула вигляду

п

/ = Е Х]УІ (42)

3 = 1

Вираз (42) називається канонічним виглядом квадратичної форми. Зокрема, якщо X] Є ( 1; 0; 1}, і Є {1,..., п}, то (42) на­зивається нормальним канонічним виглядом квадратич­ної форми.

Якщо квадратична форма (37) зведена за допомогою дея­кого невиродженого перетворення до канонічного вигляду (42), то число коефіцієнтів X], які відмінні від нуля, дорівнює ран­гу г квадратичної форми. Справді, оскільки ми прийшли до (42) за допомогою невиродженого перетворення, то, як відзна­чено вище, квадратична форма (42) має ранг г. Очевидно, що матриця квадратичної форми (42) має вигляд

( Хі

0

. . . 0

0

 

... 0

0

0

. . .     Хп /

її ранг визначається числом відмінних від нуля елементів, що стоять на головній діагоналі, а тому цих елементів, тобто X], повинно бути саме г.

Можна довести, що будь-яку квадратичну форму (37) мож­на звести за допомогою деякого невиродженого перетворення (39) до канонїчного вигляду (42). При цьому кількість додат­них і від'ємних X] в (42) не залежить від вибору невиродженого перетворення (39) (закон інерції квадратичної форми).

94

Розглянемо один із методів зведення квадратичної форми до канонічного вигляду, який називається методом Лагран-жа виділення повних квадратів.

Нехай у квадратичній формі (37) всі доданки з квадратами змінних відсутні, тобто ауз =0, І Є {1,... ,п}, але принаймні один з коефіцієнтів а = 0. Для зручності вважатимемо, що, наприклад, аі2 = 0. Це означає, що в квадратичній формі є доданок 2ау2Хі%2. Перейдемо до нових змінних уі, у2, ..уп за допомогою невиродженого перетворення:

Хі = у1 - у2

Х2 = у1 + y2, Хз = уз,     І Є{3,...,п}.

Тоді вираз 2аі2ХіХ2 набуде вигляду

2аі2ХіХ2 = 2аі2і - у2)(уі + у2) = 2аі2у2 - 2аі2у^.

Отже, в квадратичній формі з'явилися члени з у2 і у2. Тому надалі можна вважати, що в квадратичній формі обов'язково є доданки з квадратами змінних.

Нехай, наприклад, в квадратичній формі (37) коефіцієнт аіі = 0. Розглянемо частину квадратичної форми /, яка мі­стить змінну Х , тобто

= ацх2 + 2аі2ХіХ2 + 2аізХіХз + .+ 2аіпХіхп.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія