В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 26

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Доповнимо цей вираз до повного квадрата:

= —(ацХі + аі2Х2 +   . + аіпХп)2 - а, а

де а є алгебраїчною сумою доданків, які не містять змінної Х . Якщо зробити невироджене лінійне перетворення

уі = ацХі + аі2Х2 + ... + аіпХп,

уз = Хз,     І Є{2,...,n},

95то квадратична форма / у змінних у\, у2, ..., уп набуде вигляду

^ п п

або

/ =        Уі + /і,

ап

де - деякі нові коефіцієнти при добутках у уук. Аналогічно, як і в попередньому випадку, організуємо повний квадрат від­носно змінної у2 в і т.д.У результаті дістанемо канонічний вигляд квадратичної форми.

Приклад 1. Звести квадратичну форму

/ = х\ + х\ + 3ж| + 4х\Х2 + 2х\х3 + 2x2x3

до канонічного вигляду.

Запишемо квадратичну форму у вигляді

/ = 1 + 4хіХ2 + 2х\хз) + х2 + 3х| + 2x2x3 = = і + 2x2 + хз)2 4х2 х3 4х2хз + х2 + 3x3 + 2x2x3 = = (хі + 2x2 + х3)2 3х2 + 2х| 2x2x3.

Вираз 2х| 3x2 2x2x3 не містить змінної хі. Утворимо повний квадрат відносно змінної х3. Тоді одержимо, що

/ = (хі+2х2+х3)2+2(х3—х2х3)—3x2 = (хі +2х2+х3 )2+2(х3 2 х2)2 1 х2—3x2 =

= і + 2x2 + х3)2 + 23 2 х2)2 2 х2. Тепер введемо нові змінні уі , у2 і у3 за формулами

і = хі + 2x2 + х3, „ = . 1 х2 у3 = х2

Розв'язавши цю систему відносно хі, х2 і х3, знайдемо шукане пере­творення

ґ 5

ґ х2 = у3,

х3 = у2 + 2 у3,

96матрицею якого є

1   1

І

/1 -1 -5\

2

0    0 1

V0 1 2 /

Очевидно, що це перетворення невироджене, бо \Я\ = —1=0. Воно зводить квадратичну форму до канонічного вигляду

/ = у2 +2у2 7 у3.

Оскільки є три повні квадрати у канонічній формі, то форма / є невиродженою. ►

Приклад 2. Звести до канонічного вигляду квадратичну фор­му

/ = 2хіх2 6x2 х3 + 2хіх3.

- Оскільки у даній формі відсутні квадрати, то зробимо таке невироджене перетворення

х = у + у2, х2 = у у2, х3 = у3.

Тоді матимемо

/ = 2у 2 2 іу3 + 6у2у3 + 2у у + 2у2у3 = 2у 2 2у\ і у3 + 8у2у3. Організуємо повний квадрат відносно змінної у . Тоді одержимо,

що

/ = 22 іу3) 2у2 + 8у2у3 = 2і у3)2 2у\ 2у2 + 8у2у3.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія