В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 27

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Далі утворимо повний квадрат відносно змінної у2:

/ = 2і у3)2 2(у2 4у2у3) 2у3 = 2і у3)2 22 2у3)2 + 6у2.

Тепер зробимо заміну змінних

г і = у і у3, ^2 = у2 3,

Тоді дістанемо, що квадратична форма набула канонічного вигляду

/ = 2 2г2 +6^3.

97

Знайдемо перетворення, яке звело квадратичну форму до цього вигляду. Маємо

{ух = гх + гз, У2 = г2 + 2гз, уз = ^

а тому

{хх = гх + г2 + 3гз, Х2 = гх - г2 - гз, хз = гз.

Матрицею цього перетворення є

Я = І 1 -і -і ].

0 1 /

Оскільки \Я\ = -2 = 0, то перетворення невироджене. Квадратич­на форма так само невироджена, бо її канонічний вигляд містить квадрати всіх змінних.

Легко можна перевірити, що квадратична форма зводиться до канонічного вигляду

! = 2г2 + 6г2 - 8г3 за допомогою невиродженого лінійного перетворення

{хх = гх + 3г2 + 2гз, х2 = гх - г2 - з, хз = гз.

У цьому новому канонічному вигляді, як і в попередньому, є два додатних Ху та одне від'ємне, що й має бути згідно із законом інерції квадратичної форми. ►

Квадратичну форму називають додатно-визначеною (від'ємно-визначеною), якщо для довільних значень Хі, Х2, ..., хп, з яких принаймні одне не дорівнює нулю, квадратична форма / набуває додатних (від'ємних) значень.

Обидва ці випадки об'єднують під спільною назвою знако-визначеш квадратичш форми.

Якщо квадратична форма / має як додатні, так і від'ємні значення, то її називають знакозмшною.

98

Для визначення типу квадратичної форми використовують критерій Сшьвестра.

Розглянемо матрицю А, складену з коефіцієнтів квадратич­ної форми (37). Визначники

Аі = |ац|, А2

ап аі2

а а22

Аз

Ап

аіі аі2

аа22

аіі аі2 аіз

аа22 а

азі аз2 азз

а2п

апп

називають головними мінорами матрицi А.

Теорема (критєрій Сшьвестра). Квадратична форма (37) додатно-визначена тоді й тільки тоді, коли всі голов­ні мінори матриці А є додатними, тобто Аі > 0, А2 > 0, Ап > 0.

Квадратична форма (37) від'ємно-визначена тоді й тільки тоді, коли знаки головних мінорів чергуються, починаючи з від'ємного, тобто виконуються нерівності Аі < 0, А2 > 0,

(-1)пАп > 0.

Вправи

Пропоновану квадратичну форму звести до канонічного вигляду:

1. / = 2х\Х2 + 4х\х3 х\ 8x3;

2. / = 6x1 + 5x2 + 7х| 4хіХ2 + 4хіхз;

3. / = х1 + 5х2 4х3 + 2хіх2 4хіхз;

4. ] = хіх2 + х2хз + хіхз;

5. f = 4х2 + х2 + х2 4хіх2 + 4хіхз 3х2хз;

6. / = 11х1 + 5х2 + 2х2 + 16хіх2 + 4хіхз 20х2хз;

7. / = х2 + х2 + 5х2 6хіх2 + бхіхз 6х2хз;

8. / = х2 + х2 + х2 + 4хіх2 + 4хіхз + 4х2хз;

9. ] = 17хі + 14х2 + 14х2 4хіх2 4хіхз 8х2хз.

Відповіді

1. І = УІ + у"2 12УІ 2. / = 3у2 + 6у2 +9уз2. 3. / = у2 + у2 у2. 4. / = У2 у2 Уз2. 5. / = у2 + у2 Уз2. 6. / = 9у2 + 18у2 9у2. 7. / = 3у2 + 6у2 2у2. 8. / = 5у2 у2 у22. 9. / = 9у2 + 18у2 + 18у2.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія