В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 27
Далі утворимо повний квадрат відносно змінної у2:
/ = 2(у і — у3)2 — 2(у2 — 4у2у3) — 2у3 = 2(у і — у3)2 — 2(у2 — 2у3)2 + 6у2.
Тепер зробимо заміну змінних
г і = у і — у3, ^2 = у2 — 2у3,
Тоді дістанемо, що квадратична форма набула канонічного вигляду
/ = 2г 2 — 2г2 +6^3.
97
Знайдемо перетворення, яке звело квадратичну форму до цього вигляду. Маємо
{ух = гх + гз, У2 = г2 + 2гз, уз = ^
а тому
{хх = гх + г2 + 3гз, Х2 = гх - г2 - гз, хз = гз.
Матрицею цього перетворення є
Я = І 1 -і -і ].
\° 0 1 /
Оскільки \Я\ = -2 = 0, то перетворення невироджене. Квадратична форма так само невироджена, бо її канонічний вигляд містить квадрати всіх змінних.
Легко можна перевірити, що квадратична форма зводиться до канонічного вигляду
! = 2г2 + 6г2 - 8г3 за допомогою невиродженого лінійного перетворення
{хх = гх + 3г2 + 2гз, х2 = гх - г2 - 2гз, хз = гз.
У цьому новому канонічному вигляді, як і в попередньому, є два додатних Ху та одне від'ємне, що й має бути згідно із законом інерції квадратичної форми. ►
Квадратичну форму називають додатно-визначеною (від'ємно-визначеною), якщо для довільних значень Хі, Х2, ..., хп, з яких принаймні одне не дорівнює нулю, квадратична форма / набуває додатних (від'ємних) значень.
Обидва ці випадки об'єднують під спільною назвою знако-визначеш квадратичш форми.
Якщо квадратична форма / має як додатні, так і від'ємні значення, то її називають знакозмшною.
98
Для визначення типу квадратичної форми використовують критерій Сшьвестра.
Розглянемо матрицю А, складену з коефіцієнтів квадратичної форми (37). Визначники
Аі = |ац|, А2
ап аі2
а2і а22
Аз
Ап
аіі аі2
а2і а22
аіі аі2 аіз
а2і а22 а2з
азі аз2 азз
а2п
апп
називають головними мінорами матрицi А.
Теорема (критєрій Сшьвестра). Квадратична форма (37) додатно-визначена тоді й тільки тоді, коли всі головні мінори матриці А є додатними, тобто Аі > 0, А2 > 0, Ап > 0.
Квадратична форма (37) від'ємно-визначена тоді й тільки тоді, коли знаки головних мінорів чергуються, починаючи з від'ємного, тобто виконуються нерівності Аі < 0, А2 > 0,
(-1)пАп > 0.
Вправи
Пропоновану квадратичну форму звести до канонічного вигляду:
1. / = 2х\Х2 + 4х\х3 — х\ — 8x3;
2. / = 6x1 + 5x2 + 7х| — 4хіХ2 + 4хіхз;
3. / = х1 + 5х2 — 4х3 + 2хіх2 — 4хіхз;
4. ] = хіх2 + х2хз + хіхз;
5. f = 4х2 + х2 + х2 — 4хіх2 + 4хіхз — 3х2хз;
6. / = 11х1 + 5х2 + 2х2 + 16хіх2 + 4хіхз — 20х2хз;
7. / = х2 + х2 + 5х2 — 6хіх2 + бхіхз — 6х2хз;
8. / = х2 + х2 + х2 + 4хіх2 + 4хіхз + 4х2хз;
9. ] = 17хі + 14х2 + 14х2 — 4хіх2 — 4хіхз — 8х2хз.
Відповіді
1. І = — УІ + у"2 — 12УІ 2. / = 3у2 + 6у2 +9уз2. 3. / = у2 + у2 — у2. 4. / = У2 — у2 — Уз2. 5. / = у2 + у2 — Уз2. 6. / = 9у2 + 18у2 — 9у2. 7. / = 3у2 + 6у2 — 2у2. 8. / = 5у2 — у2 — у22. 9. / = 9у2 + 18у2 + 18у2.