В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 28

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

99

Розділ 3 Елементи векторного аналізу

§1. Вектори та лінійні операції над ними

1.1. Вектори на площині та в просторі. При вивченні різних явищ і процесів зустрічаються величини, які повністю визначаються заданням їхніх числових значень. Такі величини називаються скалярними. Скалярними величинами є, напри­клад, довжина, площа, маса, температура і т.п. Крім скалярних величин, у різних задачах зустрічаються величини, для визна­чення яких, крім числового значення, необхідно знати також їхній напрямок у просторі або на площині. Такі величини на­зиваються векторними. Векторні величини зображуються за допомогою векторів.

Векторними величинами, наприклад, є сила, що діє на тіло, швидкість і прискорення тіла при його русі в просторі, напру­женість магнітного поля в даній точці і т.д.

Вектором називається напрямлений відрізок у просторі або на площині, у якого одна з його обмежуючих точок береть­ся за початок, а друга - за кінець. Якщо А - початок вектора, а В - його кінець, то вектор позначається символом АВ . Вектор позначатимемо також і символом а .

Довжиною (модулем) ІАВі вектора називається число, що дорівнює довжині відрізка АВ, який зображає цей вектор. Якщо вектор позначено через а , то його модуль по­значається символом |-Ва | .

Вектор, у якого кінець збігається з початком, називається нульовим і позначається 0 . Нульовий вектор не має певного напрямку, а його модуль |В0 | = 0.

Вектори В і Ь , які лежать на одній прямій або на пара­лельних прямих, називаються колінеарними. Якщо ж векто­ри в просторі лежать на одній площині або на паралельних площинах, то вони називаються компланарними.

Два вектори В і Ь називаються рівними, якщо вони: 1) мають однакові модулі; 2) колінеарні; 3) напрямлені в один бік. У цьому випадку пишуть В = Ь . Іншими словами, вектори В

100і Ь називаються рівними, якщо при деякому паралельному пе­ренесенні вони суміщаються, причому збігаються їхні початки і кінці. З цього означення випливає, що вектор можна переноси­ти паралельно самому собі, поміщаючи його початок у будь-яку точку простору (площини).

Для кожного ненульового вектора 1 існує протилежний вектор, який позначається символом —її. Вектор —її має мо­дуль, який дорівнює модулю вектора , колінеарний з ним, але напрямлений у протилежний бік.

1.2. Лінійні операції над векторами. Лінійними опера­ціями називаються операції додавання й віднімання векторів і множення вектора на число.

Добутком вектора на число А = 0 називається вектор Ь = А~ї, що колінеарний вектору , довжина якого | Ь | = |А||"(Ґ|, а напрямок збігається з напрямком вектора при А> 0 і протилежний при А < 0.

Звідси випливає, що вектори 1 і Ь = А~а, завжди роз­міщені на одній або на паралельних прямих, оскільки вони є колінеарними. Правильним є й обернене твердження: з коліне-арності векторів ~$ і Ь випливає, що

11 = А~$. (1)

Сумою векторів 1 і Ь називається вектор 1 = ~$ + Ь , початок якого збігається з початком вектора 1, а кінець з кін­цем вектора Ь , за умови, що початок вектора Ь знаходиться в кінці вектора 1.

Ла2 ^

с = а + Ь с = аг + ї2 + а3 +

Дане означення можна поширити на довільне скінченне число векторів. Це правило називається правилом трикут­ника (многокутника).

Лінійні операції над векторами мають такі властивості:

101

1) ТІЇ + 6 = 6 + "а*;

2) (т +   ) +    =    +     + "с");  3) Л(т + "6) = Л"" + Л"";

4) + іл)~а = л~а + ц~а; 5) (Лц)~а = л(^~а); б) о -$ = лт0 = т0.

Суму векторів "Ґ і Ь можна одержати і таким чином: від­кладемо від точки О вектори О А = "а, і О В = 6 і побудуємо паралелограм ОАСВ. Вектор ОхС, який є діагоналлю парале­лограма і є сумою векторів ~ії і Ь .

-с? = а Ь

О

А

Описане правило на­зивається правилом паралелограма дода­вання векторів.

Різницєю вєкторів ~а, і Ь називається вектор = ТІЇ Ь , сума якого з вектором Ь дає вектор ТІЇ.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається оди­ничним.

Нехай задано вектор ТІЇ =0 . Розглянемо одиничний вектор а0, колінеарний вектору ТІЇ й однаково з ним напрямлений, тоді ~(І = \~аІа0. Вектор а0 називають ортом вектора ТІЇ.

1.3. Кут між двома векторами. Проекція вектора на вісь. Нехай у просторі задано два ненульові вектори ТІЇ і Ь , які зведено до спільного початку.

Кутом між векторами ТІЇ і Ь нази­вається найменший кут р, 0 < р < п на який треба повернути один із векторів до його суміщення з другим.

Розглянемо вісь І, додатний напрямок якої збігається з напрямком одинично­го вектора    , розміщеного на осі І.

Під кутом між вектором і віссю І розуміємо кут р між векторами і і" .

102

Нехай І - деяка вісь, а АВ - вектор, який розміщений до­вільно у просторі. Позначимо через А\ та Б\ проекції на вісь І відповідно початку А і кінця Б цього вектора. Припустимо, що Аі має на осі І координату Хі, а Бі - координату х2.

Різницю Х2 Хі між координатами проекцій кінця і початку вектора Б на вісь І назвемо проекцією вектора Б на цю вісь.

Якщо вектор ав утворює з віссю і гострий кут, то х2 > х\,і проекція Х2 — х\ > 0, якщо ж кут між віссю і і вектором ав -тупий, то х2 < х\, і проекція х2 — х\ < 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія