В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 29

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

в

в

 

 

 

 

 

 

х1

Х2

І

Х2

Х1

 

У випадку, коли Бі.І, маємо Х2 = Хі і тому проекція Х2 — Х1 = 0.

Проекцію вектора        на вісь І позначатимемо символом

пр^лБ.

Основні властивості проекції вектора на вісь: 1) проекції рівних векторів на одну й ту саму вісь однакові, тобто пргАБ = пр—В, якщо АБ = ЦЗ;

Б З

 

 

 

1

1

 

Аі

Бі

Сі

Зі

І

І

І

103

2) при множенні вектора на число Л, його проекція мно­житься на це число, тобто прг С = прг(ЛАБ) = ЛпргАБ;

A

B

Al

Bl

Cl

3) проекція суми векторів на вісь І дорівнює сумі проекцій цих векторів на дану вісь: прг ——С = прг В + пргВ(С;

B

A

Al      Bl    Cl l

4) проекція вектора нрlAB на вісь l дорівнює добутку мо­дуля вектора на косинус кута р між цим вектором і віссю l: ^iAb = \-B\ cos р.

1.4. Прямокутний декарив базис. Розклад вектора по осях координат. Дії над векторами, заданими своїми координатами. Розглянемо прямокутну систему координат у просторі. На кожній осі виберемо одиничний вектор, напрямок якого збігається з додатним напрямком осі. На осі Ox візьмемо одиничний вектор і, на осі Oy - j, на осі Oz - к: \ i\ = \j\ = \k\ = 1.

Мз

j

'Or

M2

T~*-«7/

Ці вектори взаємно перпендикулярні. їх називають ортами осей координат. Прийнято також нази­вати ці орти декарто-вим прямокутним базисом.

l

z

X 104

Розглянемо вектор = у просторі. Згідно з правилом додавання векторів

МІ = ОМ* + М = ОМІ + оМ2 + ОМІ- (2)

Якщо координати точки М(х; у; г), то

ОМ\ = хї;  оМ2 = у з; = гк- (3)

Тоді з (2) і (3) випливає, що

М = хі + у З + гк- (4)

Рівність (4) називають розкладом вектора а по коор­динатних осях. Очевидно, що х = пр0хїї, у = пр0уМ, г = пр0хМ, а це означає, що коефіцієнти розкладу (4) є про­екціями вектора М на осі координат.

Якщо початок вектора суміщено з початком координат, то його проекції х, у, г на координатні осі збігаються з координа­тами кінця вектора - точки М. Тому проекції будь-якого век­тора на координатні осі називають координатами вектора = Ма .

Після вибору в просторі певної системи координат вектор і трійка його координат однозначно визначають одне одного, тому вектор (4) можна записати у вигляді

М = (х; у; г)- (5)

Оскільки осі координат взаємно перпендикулярні, то дов­жина вектора О ММ дорівнює діагоналі прямокутного парале­лепіпеда, побудованого на векторах ОМ\, ОМ2, ОМ3 і тому виражається рівністю

| = д/х2 + у2 + г2 - (6)

Оскільки вектор повністю визначається заданням початку і кінця, то можна виразити координати даного вектора через координати цих точок. Якщо в заданій системі координат поча­ток вектора М знаходиться в точці А(х\\ уі; г\), а кінець у точці -В(х2; у2; г2), то оА = хі ї + уіз + гі к, ОіВ = х21 + у2 3 + г2 к.

105

З рівності ЦВ = оА + АВ випливає, що АВ = ОВ - оА = 2% + У2І + г2к) - ії + уі] + гік) = = 2 - Хі) ? + (у2 - уі) з + (х2 - гі) к.

г

Отже,

Формула (6) у цьому випадку набуває вигляду

\ = \/(Х2 - Хі)2 + 2 - Уі)2 + 2 - гі)2.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія