В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

10

Згідно з означенням, комбінації - це невпорядковані к-підмножини з п-множини. Розглянемо будь-яку комбінацію [а\, 0,2,ак}. Упорядковуючи її всеможливими способами, одержимо к! різних розміщень, тобто маємо рівність =

Отже,

Ск = ЛП = п(п - 1)...(п - к + 1) Сп = к! = к! ' (3)

Приклад 7. Агрохімік перевіряє 6 типів мінеральних добрив, для чого йому треба провести декілька дослідів, щоб вивчити суміс­ність будь-якої трійки добрив. Для кожного досліду беруть ділянку 0,25 га. На якій площі проводяться всі досліди?

Знайдемо спочатку число дослідів, які слід провести. Скорис­таємось формулою (3), де п = 6, к = 3:   С =        = 20.

Оскільки на кожний дослід виділяється 0,25 га, то на всі досліди треба виділити 20 • 0, 25 = 5 га. ►

Формулу (3) можна записати у вигляді

п!

С к = (4) п    к!(п - к)Ґ 1 ;

Якщо вважати, що 0! = 1, то формула (4) є правильною і при п = к.

Числа СП називають біномними коефіцієнтами. Ця наз­ва пов'язана з тим, що вони є коефіцієнтами у формулі бінома Ньютона

(а + Ь)п = ап + СП ап—1Ь + С2п ап—2Ь2 +... + СП ап—к Ьк +... + Ьп =

п

= ^ Спап—кЬк. (5)

к=0

п

При а = Ь = 1 з формули (5) випливає, що ^ Сп = 2п,

=п0

тобто число всіх підмножин п-множини дорівнює 2п.

Для будь-яких натуральних п і к (к < п), як випливає з формули (3) або (4), маємо

Сп     Сп (6) Сп+1 Сп Сп .

11

Оскільки С™ = 1, то можна вважати, що С„ = 1 і тоді перша формула з (6) у даному випадку є тотожністю 1=1.

1.3. Квантори. Логічні символи. У математичних твердженнях часто повторюються окремі слова й цілі вирази. Тому при їхньому записі корисно використовувати логічну сим­воліку. Для цього зручно вживати значки V і 3, які називаються відповідно кванторами загальності й Існування.

Символ Vx означає: "для всіх х "для будь-якого х" або "яке б не було х". Наприклад, запис Vx > 0 читається так: "для довільного додатного х" або "для всіх додатних х".

Символ 3х означає: "існує таке х, що ... "для деяких х ..." або "принаймні для одного х Наприклад, запис 3х > 0 читається так: "існує таке додатне х, що ...".

Символ == означає логічний наслідок. Так, якщо А і В -деякі твердження, то запис А == В означає, що з А випливає В або якщо має місце А, то має місце В.

Знак 4 означає логічну рівносильність. Запис А 4 В означає, що з А випливає В і, навпаки, з В випливає А.

Запис Vє > 0 3по Vn > по : \хп а\ < є читається так: "для довільного є > 0 існує таке число по, що для довільного п > по правильна нерівність \ хп а\ < є".

1.4. Межі числових множин. Числова множина X на­зивається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число М(т), при якому для довільного х Є X виконується нерівність х < М (х > т). Число М(т) називається верхньою (ниж­ньою) межею множини X. Множина, обмежена знизу і звер­ху, називається обмеженою. Будь-який обмежений проміжок є обмеженою множиною. Інтервали (а; +оо) і (—те; Ь) є множи­нами, обмеженими відповідно знизу і зверху, але не обмежени­ми відповідно зверху і знизу. Вся числова пряма не обмежена ні зверху, ні знизу.

Очевидно, що обмежена зверху (знизу) множина має без­ліч верхніх (нижніх) меж. Справді, якщо число М є верхньою межею множини X, то і будь-яке число Мі > М, згідно з озна­ченням верхньої межі, також буде верхньою межею цієї мно-

12жини. Найменша верхня межа множини X, обмеженої зверху, називається точною верхньою межею цієї множини; вона позначається символом supX (супремум ікс). Якщо M* = sup X, то:

1) x < M*, x Є X,

2) для довільного є > 0 знайдеться елемент x Є X такий, що x > M* - є.

Найбільша нижня межа, обмеженої знизу множини X, на­зивається точною нижньою межею цієї множини і позна­чається символом inf X (інфімум ікс).

Якщо m* = inf X, то:

1) x > m*, x Є X,

2) для довільного є > 0 знайдеться елемент x Є X такий, що x < m* + є.

Наведемо деякі приклади. Нехай X = (a; b), тоді числа a і b є відповідно точними нижньою і верхньою межами множини X, тобто inf X = a, supX = b. Якщо X = (—то, b), то нижніх меж, а отже, й точної нижньої межі множина X не має, а число b є її точною верхньою межею: sup X = b. У випадку множини [a; b] маємо, що inf X = a, sup X = b.

Можна довести, що довільна непорожня множина, яка об­межена зверху (знизу), має точну верхню (нижню) межу.

Вправи

1. Довести тотожності для довільних множин A, B, C:

а) A П B = B П A,   A U B = B U A;

б) (A П B) ПС =_A П (B П C),   (A U B) U C = A U (B U C);

в) A П B = A U B;

г) A П0_= 0, A U U = U;

д) A П A = 0,   A U A = U (тут U - універсальна множина).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія