В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 30

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

Очевидно, що відстань між двома точками А(хі; уі; гі) і В(Х2] у2; г2) дорівнює довжині вектора АВ , а тому обчислюєть­ся за формулою

\АВ\ = ^(Х2 - Хі)2 + (у2 - уі)2 + 2 - гі)2.

Запис вектора у координатній формі дозволяє лінійні опе­рації над векторами здійснювати над їхніми координатами.

Нехай є вектори ТІЇ = Хіі + уі] + гік, Ь = Х2і + у2] + г2к і Л - деяке число.

Тоді

ЛіІ = Л(хі ї + уі] + гік) = (Лхі) ї + (Луі + (Лхі) к

або

Л~а* = (Лхі; Лу^; Лгі). (7)

Далі

±тТ = ії + уі] + гік) ± 2% + у2] + г2к) =

106

= (хі ± х2)г + (уі ± у2) І + (хі ± х2) А;

або

~а, ±Ь =(хі ± Х2\уі ± У2\хі ± Х2). (8) Якщо вектори її і Ь колінеарні, то Ь = Хії, тобто

Х2% + У2І + = \(хії + уі] + гік). (9)

Звідси випливає, що

Х2 = ХХі, У2 = Хуі,   Х2 = Хгі

або

(10)

Х2 = У2 = Z2

Хі     yi zi

Оскільки умови (10) - це відношення, то один або два зна­менники можуть дорівнювати нулю, але тоді й відповідні чи­сельники дорівнюватимуть нулю.

Умова (10) є необхідною і достатньою умовою колінеарності двох векторів.

Приклад 1. Задано вектори it = (2;0;1) i b = (3; 5; —2). Знай­ти довжину вектора = 2~ct 3 b .

А Маємо 1 = 2(2; 0; 1) 3(3; 5; —2) = (4; 0; 2) (9; 15; —6) = (4 9;0 15;2 + 6) = (—5; —15; 8).

Тоді \~С\ = л/(—5)2 + ( 15)2 + 82 = 25 + 225 + 64 = у/Ш.

Приклад 2. Для яких значень a i в вектори ~ct = (—2;3; в) i b = (a; —6; 2) колінеарні?

А Згідно з (10)

—2= —3 = в

Тому

2 = a = 4;   2 = -;  в = —1.

Отже, вектори 1 i b колінеарні, коли a = 4, в = 1. Напрямок вектора it в просторі визначається кутами a, в і 7, які цей вектор утворює з осями координат. Косинуси цих кутів cos a, cos в, cos 7 називають напрямними косинусами вектора.

107

\ M A /

ХІ_^ y

Нехай вектор it заданий своїми координатами, тобто it (x; y; z). Оскільки x = нро-ц1 = j"tj cos а, y = нроу~tt j~t j cos в, z = нр0г"t = j~t j cos 7, де j~ttj = д/x2 + y2 + z2, то

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія