В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія - страница 31

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 

x

cos а

д/x2 + y2 + z2

cos 7

cos в

y

д/x2 + y2 + z2

,         ■ (11)

\/x2 + y2 + X2

Піднісши кожну з рівностей (11) до квадрата i додавши їх, дістанемо, що

cos2 а + cos2 в + cos2 7 = 1,

тобто сума квадратів напрямних косинусів будь-якого вектора дорівнює одиниці.

Очевидно, що орт вектора ~it

t0 = cos а i + cos в j + cos 7 k

Приклад 3. Знайти косинуси кутів, які вектор утворює з осями координат, якщо А(1;2;3) і В(2;4;5).

А Маємо ЛВ = (2 - 1;4 - 2; 5 - 3), тобто аВ = (1; 2; 2). Тоді

\АВ\ = а/1 + 4 + 4 = 3, cos а = 3, cos в = 3, cos 7 = 3.

1.5. «Лінійна залежність векторів. Вектори iti,"t2, ~tk називаються лінійно залежними, якщо існують числа Аі, Л2,     Ak, принаймні одне з яких не дорівнює нулю (Аі + А2 + ■■ + Ak = 0), такі, що виконується рівність

Лі"11 + Л2"12 + ... + Лк "(t, 0 .

(l2)

z

lCS

Якщо ж рівність (12) виконується тільки тоді, коли Лі = А2 = ■■■ = Ak = 0, то вектори ~tі, "tt"2, ~tk називаються лінійно незалежними.

З рівності (12), припускаючи, наприклад, Лі = 0, дістанемо

—> А2—>        А3—> Ak—>

а і = - Т~ а 2 - 7~ а 3 - - -— а k ^

Аі        Аі Аі

Покладаючи -    = Ц2,      -= lk, одержимо

"t1 =       2 + Із"1 з + ■■■ + lk"t k (13)

Вираз H2~t2 + ■■■ + lk~tk називається лінійною комбіна­цією векторів "t2,      "tk.

Отже, якщо декілька векторів лінійно залежні, то принайм­ні один із них завжди можна зобразити у вигляді лінійної ком­бінації решти.

Правильне й обернене твердження, а саме: якщо один із век­торів є лінійною комбінацією інших, то всі ці вектори лінійно залежні. Справді, нехай, наприклад, вектор "tі є лінійною ком­бінацією векторів "t2,"t3, "tk. Тоді правильною є рівність (13), яку можна записати так: -"tі + H2~t2 + ■■■ + lk"tk = 0 . Звідси, згідно з означенням лінійної залежності векторів, вип­ливає, що вектори "tі,"t2, "ttk лінійно залежні, оскільки виконується (12), де Аі =   1, відмінне від нуля.

Приклад 4. Скласти лінійну комбінацію векторів "t і = (2; -1;0), "t2 = (-3;2; 1) з коефіцієнтами Аі = 2, А2 = 3.

А Маємо 2""і = (2 • 2; 2 • (-1); 2 • 0) = (4; -2; 0), 3""2 = (3 • (-3); 3 • 2; 3 • 1) = (-9; 6; 3). Тоді 2"tі + 3"t2 = (4; -2; 0) + (-9; 6; 3) = (4 - 9; -2 + 6;0 + 3) = (-5;4;3).

Приклад 5. Довести, що вектори "tі = (2;0), "t2 = (0;3) є лінійно незалежними.

А Треба довести, що рівність Аі"і + А2"12 = "0 рівносильна тому, що Аі = 0, А2 = 0. Маємо, і + А2~а2 = (2Аі + 0А2;0Аі + 3А2) = (2Аі;3А2), а тому з рівності (2Аі;3А2) = "0 випливає, що Аі =0, А2 =0.

Приклад 5 показує, що на площині існує система лінійно незалежних векторів, яка містить два вектори.

109

О'

Теорема. Будь-які три вектори ~і£, Ь , С на площині лінійно залежнї.

А Справді, нехай серед векторів є два колінеарні, наприклад, і Ь . Тоді = ХЬ або = ХЬ + 01?, тобто вектор є лінійною комбінацією векторів Ь і . Отже, в цьому випадку вектори , Ь , лінійно залежні.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105 


Похожие статьи

В П Лавренчук, П Настасієв, О В Мартинюк - Вища математиказагальний курсчастина iлінійна алгебра й аналітична геометрія